szukaj
Czym jest piękno w matematyce?
Tropiciel zachwycających symetrii
Prof. Stanisław Woronowicz, specjalista fizyki matematycznej, opowiada o tym, czym jest piękno w matematyce i dlaczego na poszukiwaniu tego piękna warto strawić całe życie.
quinn.anya/Flickr CC by SA

 

Sławomir Mizerski: – Skąd się w pana życiu wzięła matematyka?

Prof. Stanisław Woronowicz: – Zawsze miałem zdolności do nauk ścisłych. Mama opowiadała, że kiedyś jako sześciolatek obserwowałem, jak myje kuchnię. W pewnym momencie zauważyłem, że umyła już trzy piąte. Spojrzała i zdumiona stwierdziła, że rzeczywiście to było trzy piąte. W szkole nie miałem problemów z matematyką, może z wyjątkiem tego, że zapominałem przynosić cyrkiel na lekcje.

 

Ale zdolności to chyba jeszcze nie powód, żeby całe życie poświęcić matematyce?

Wie pan, nie wykazałem w swoim życiu jakiejś istotnej inicjatywy. Muszę powiedzieć, że cały czas szedłem na łatwiznę. Nie chciałem być lekarzem ani inżynierem. Może stąd ten wybór.

 

Dlaczego warto znać matematykę? Większość ludzi powie: po co mi to, przecież komputer lub kalkulator wszystko za mnie policzy.

Matematyka uczy precyzyjnego myślenia i nie ma to wiele wspólnego z liczbami. Dla mnie matematyka w pierwszym skojarzeniu to bardziej obrazy, geometria niż arytmetyka. I bardzo mnie denerwuje, kiedy mój student odpowiadając na pytanie nie ilustruje odpowiedzi rysunkiem, bo zaczynam podejrzewać, że on tego wszystkiego nie widzi. Matematyka to jest w gruncie rzeczy wyobraźnia, która przewyższa wszelkie pomysły poetyckie. Wiadomo, że istnieje skończoność i nieskończoność i że religia obiecuje życie wieczne, nieskończone. Tymczasem w matematyce jest wiele różnych nieskończoności, są nieskończoności większe, mniejsze i różny sposób ich liczenia. Aparat pojęciowy matematyki jest szalenie bogaty i umożliwia znacznie lepsze, precyzyjniejsze myślenie.

 

Także w życiu codziennym?

Jest prawo mówiące, że gdy dwóch ludzi ma coś zrobić, to matematyk, jeśli jest jednym z nich, zawsze zrobi to lepiej. Gdy mój tata piekł gwiazdki, takie kruche ciasteczka posypane cukrem z dziurką w środku, ja jako dziecko miałem obowiązek pakowania ich do kartonów. I nawet podczas tej czynności uprawiałem pewną matematykę, bo ciastka można było pakować tak jak mój tata, natomiast ja wymyśliłem lepszy sposób pakowania, dzięki któremu znacznie więcej dało się upakować. Zawinąłem również w swoim życiu wiele cukierków krówek w papierki i wtedy także matematyczny sposób widzenia bardzo mi pomógł. Ale o szczegółach może nie będę mówił.

 

Co to jest fizyka matematyczna i czym ona się różni od fizyki, której uczyliśmy się w szkole?

Fizyka jest nauką, która się intensywnie posługuje matematyką, ponieważ fizykom od bardzo dawna nie wystarcza już jakościowy opis zjawisk. Lubią oni rzeczy ujmować w liczby, a tu w grę wchodzi matematyka. Na początku była to prosta arytmetyka, a od czasów Newtona, kiedy się okazało, że przyspieszenie jest proporcjonalne do siły, wszedł rachunek różniczkowy, analiza matematyczna.

 

Fizyka się skomplikowała?

Była coraz bardziej precyzyjna i obejmowała coraz to nowe obszary zjawisk, które tymi precyzyjnymi metodami dawało się opisać. W efekcie w XX w. nastąpiła zmiana w relacjach między fizyką a matematyką, ponieważ powstały dziedziny fizyki, których w ogóle nie sposób opisać bez użycia języka matematyki.

 

Postrzegać również?

Również, ponieważ do ich rozumienia potrzebna jest wyobraźnia, która nie odwołuje się do przedmiotów znanych z życia codziennego, a do przedmiotów, które wyrosły na gruncie matematyki. To są pojęcia, którymi się operuje, ale nie oznaczają one przedmiotów, z którymi mamy do czynienia w życiu codziennym. Współdziałanie fizyka i matematyka weszło w nową, wyższą fazę. W tej chwili to, co interesuje fizyków matematycznych, to struktury matematyczne, jakie są stosowane lub jakie mogą być stosowane w fizyce. Nas interesuje czysta matematyka, jaka tam się pojawia.

 

Jaki związek ma fizyka matematyczna ze światem, który postrzegamy?

Wyraz „związek” jest bardzo niejednoznaczny, można go rozmaicie rozumieć. Ale jakiś związek jest, bo przecież tym wszystkim zajmują się ludzie, którzy żyją w świecie realnym. Ale jak świat realny wpływa na to, czym my się zajmujemy – to dość zagadkowa sprawa. W tym momencie chciałbym zwekslować naszą rozmowę na coś, co nazwałbym estetyką, pięknem. Bo jest rzeczą tajemniczą, że to, co w matematyce jest piękne i jest rozwijane dla tego piękna, wcześniej czy później okazuje się być interesujące dla fizyków. Mamy pewne poczucie symetrii, estetyki i głównie nim się kierujemy.

 

Jako matematycy?

Jako fizycy także. Znam wielu ludzi zajmujących się tym co ja i wiem, że głównym motywem ich postępowania nie jest dążenie do opisania świata zewnętrznego. Głównym motywem jest pewna estetyka konstrukcji matematycznych, budowli myślowych, które przy tej okazji powstają.

 

Zatem ludzi takich jak pan pchają do przodu względy estetyczne?

Tak, trochę tak samo jak człowieka, który pisze muzykę. Muzyka też nie ma bezpośredniego odniesienia do rzeczywistości.

 

Zastanawiam się, w jaki sposób pan doświadcza piękna matematyki? Jak ono się panu jawi?

Widzi pan, matematyka zawiera w sobie różne elementy. Po pierwsze dowody. Jest jakieś twierdzenie matematyczne i jest jakiś dowód na jego prawdziwość. Ten dowód bywa żmudny, wymaga sprawdzenia mnóstwa detali. Ale czasem ktoś poda panu dowcipny pomysł, który elegancko omija tę całą żmudną robotę, trafia w sedno i sprawa robi się oczywista natychmiast. To zachwyca, przynosi zadowolenie estetyczne, takie samo jak w momencie, gdy słyszy się puentę dobrego dowcipu, która bynajmniej nie jest oczywista.

 

Czy taka idea objawia się jakimś wzorem matematycznym?

To się objawia pomysłem po prostu. Przytoczę panu pewne zadanie – żart. Otóż jest kij o długości 2 m, po tym kiju chodzą mrówki. Każda mrówka chodzi z szybkością jednego centymetra na sekundę, w lewo albo w prawo. Jeśli się dwie mrówki spotykają, robią w tył zwrot i idą z powrotem. Tych mrówek jest na początku dwieście, jeśli któraś z nich dojdzie do końca kija, spada. Pytanie brzmi: po jakim czasie można być pewnym, że na kiju nie będzie ani jednej mrówki, bo wszystkie spadną? Natychmiast gdy człowiek dostaje takie zadanie, wyobraża sobie, że sprawa jest trudna, bo taka mrówka może bardzo wiele razy chodzić w lewo i w prawo, napotykając mrówki z naprzeciwka. W ten sposób utrzyma się na kiju strasznie długo. Ja czy moi koledzy, którzy są w tego rodzaju zadaniach wytrenowani, tracimy pięć, dziesięć minut na rozpatrywanie takiej sytuacji, tymczasem rozwiązanie jest banalnie proste, wymaga tylko odrobiny wyobraźni abstrakcyjnej. Otóż to, jak się zachowuje każda konkretna mrówka A, B, C i tak dalej, w ogóle nie jest istotne. Wszystko jedno, czy jak się spotka mrówka A z mrówką C, to obie wykonają zwrot w tył, czy po prostu miną się, bo i tak jedna nadal będzie szła w lewo, a druga w prawo. Czyli z punktu widzenia dynamiki te zmiany kierunku w ogóle można pominąć. I w związku z tym odpowiedź robi się prosta: wszystkie mrówki spadną po takim czasie, jaki jest potrzebny jednej mrówce idącej z prędkością centymetra na sekundę do przejścia całego kija z jednego końca na drugi.

 

To naprawdę piękny pomysł.

Ładny, bo zamiast rozpatrywania jakiejś bardzo skomplikowanej sytuacji, wymyślamy coś bardzo prostego. Z tym że to, o czym mówiłem, to tylko jeden aspekt piękna w matematyce i to ten mniej istotny. Znacznie bardziej istotne jest to, że w matematyce występują pojęcia o budowie piętrowej. Wprowadza się jakieś definicje, na ich podstawie wprowadza się następne definicje i tak dalej. Powstają dość skomplikowane konstrukcje. Można to sobie porównać do architektury. I te konstrukcje mają swoją własną estetykę.

 

Wzorowaną na konstrukcjach przestrzennych architektury?

Trudno powiedzieć.

 

Czy dlatego, że mamy tu do czynienia z inną przestrzenią?

Właśnie. Jeśli my robimy geometrię, to po pierwsze ma ona więcej niż trzy wymiary. Potrafimy sobie wyobrażać, w każdym razie staramy się, przestrzenie więcej wymiarowe i obiekty geometryczne w tych więcej wymiarowych przestrzeniach. Niesłychanie ważna jest także kwestia symetrii. Matematyka wytworzyła specjalną teorię do opisu symetrii, jest to teoria grup. Opisuje ona najrozmaitsze symetrie, począwszy od takich, z którymi ma się do czynienia w życiu codziennym, np. okrągły stolik czy stolik kwadratowy. To wszystko jest opisane za pomocą obiektów, które nazywamy grupami. To niezwykle skuteczne narzędzie, które samo w sobie jest, powiedziałbym, piękne.

 

Rozumiem, że symetria jest piękna, dlatego matematyka się nią zajmuje?

Tak. Otóż fizycy z symetrii wyprowadzają prawa zachowania. Słyszał pan o prawie zachowania energii, pędu itd. Otóż na początku tego wieku fizycy powiązali podstawowe prawa zachowania z pewnymi symetriami układów fizycznych. Na przykład prawo zachowania energii wiąże się z symetrią przesunięcia w czasie. Zjawiska fizyczne są, jak wierzymy, niezmiennicze ze względu na przesunięcie czasowe, tzn. bez względu na to, czy jakieś doświadczenie wykonamy dzisiaj, jutro, czy w identycznych warunkach zostało ono wykonane wczoraj, to wynik powinien być taki sam. I z tego faktu wynika zasada zachowania energii. Ładne?

 

Ładne.

Z tego, że wszystkie kierunki w przestrzeni są równouprawnione, tzn. że wszystko jedno, jak jest ustawione laboratorium, wynika zasada zachowania momentu pędu. Z tego, że rzecz nie zależy od miejsca, w którym się odbywa, wynika zasada zachowania pędu. Ale są i bardziej skomplikowane zasady zachowania, np. zasada zachowania parzystości, polegająca na tym, że wierzymy, iż zjawiska, które tworzymy, są identyczne ze zjawiskami odbitymi w lustrze. To zresztą akurat okazało się nieprawdą, a ludzie, którzy to odkryli, dostali za to Nagrodę Nobla. Odkryli oni mianowicie, że symetria zwierciadlana nie jest prawdziwą symetrią zjawisk we wszechświecie.

Trudno w to uwierzyć.

Trudno, ale tak jest. Chodzi tutaj m.in. o rozkład mezonów K.

 

Wierzę panu na słowo.

Generalnie rozumowanie teoretyczne oparte na bardzo głębokich zasadach pokazuje, że aby uzyskać symetrię absolutnie prawdziwą, po pierwsze trzeba rzeczywistość odbić w lustrze, po drugie zmienić kierunek czasu, a po trzecie zamienić cząstki na antycząstki. I dopiero wtedy – twierdzimy – na pewno jest symetria.

 

Jaki jest status symetrii?

Odpowiedź nie jest jednoznaczna. Cała fizyka opiera się na powtarzalności zjawisk. Gdyby doświadczenia, które robił Newton, nie dały się dzisiaj powtórzyć, nie byłoby fizyki w dzisiejszym rozumieniu. Fizyka się co prawda zmienia, ale nie przez zanegowanie wyników wcześniejszych doświadczeń. Można co najwyżej mówić, że te doświadczenia nie były wystarczająco precyzyjne. Czyli ta symetria związana z niezmiennością przesunięcia w czasie jest niejako wbudowana w samą istotę fizyki. Bez niej nie byłoby tej nauki po prostu. Ale niektóre inne, nawet proste symetrie bywają weryfikowane, a następnie negowane. Astronomowie odkryli, że wszechświat się rozszerza, a to znaczy, że przynajmniej niektóre stałe podstawowe dla fizyki zmieniają się w czasie, np. średnia gęstość materii.

 

A więc wciąż mamy do czynienia z trochę innym światem?

Tak, i wobec tego fizyka się trochę zmienia.

 

Czy można powiedzieć, że symetria istnieje w świecie, a tacy ludzie jak pan ją opisują?

Jest to jeden z możliwych poglądów, pytanie tylko, co znaczy słowo „istnieje”?

 

Mamy do czynienia z poszukiwaniem piękna w postaci symetrii?

Owszem. Na przykład to, co się stało na początku wieku, powstanie teorii względności, można krótko opisać w ten sposób, że pewną symetrię znaną w fizyce od czasów Galileusza teraz opisują wzory inne od tych, które dotychczas uznawano za prawdziwe. Teoria względności nie wprowadziła żadnej nowej względności, ta względność znana była o wiele wcześniej, tylko w teorii tej zweryfikowano sposób opisu. Grupa, która opisywała ją, grupa Galileusza, została zastąpiona przez grupę Poincarego.

 

Zbliża się najtrudniejszy moment w naszej rozmowie. Czy pan potrafi wyjaśnić ignorantowi, na czym polega pańska teoria zwartych grup kwantowych? Jak odpowiedziałby pan na pytanie: do czego to służy?

Z tym służeniem to miałbym kłopot. Natomiast grupy kwantowe są to pewne obiekty, którymi się zajmuję. Teoria grup kwantowych to jest próba stworzenia pewnego języka, w którym te obiekty można opisywać, opowiadać o nich.

 

Jaka jest natura tych obiektów?

Niestety, w tej sprawie musiałbym zająć panu kilka minut.

 

Rozumiem, że dotarliśmy do granicy obszaru, poza którą laik nie potrafi się już porozumieć z matematykiem?

Ale spróbujmy tę granicę nieco przesunąć. Jak mówiłem, symetrię opisuje się grupami. Pojedyncza symetria to jest po prostu przekształcenie, operacja, np. przesunięcie w czasie. Symetria polega tu na tym, że wierzymy, iż po takim przesunięciu wszystkie zjawiska będą przebiegały tak samo. Otóż te operacje można ze sobą składać w grupy. Można dokonać przesunięcia w czasie (np. o rok) i jednocześnie w przestrzeni (np. z Warszawy do Krakowa). Grupa jest zbiorem symetrii i to składanie symetrii w grupy nie musi być przemienne. Jeśli ten futerał na okulary obrócić najpierw wokół osi pionowej, a potem wokół osi poziomej, to jego końcowe położenie będzie inne niż wtedy, gdy zamieni pan kolejność obrotów. Otóż takie grupy nieprzemienne są szczególnie ciekawe.

To wszystko są jednak zbiory symetrii?

Tak. Ale dzięki mechanice kwantowej powstała sytuacja, w której okazało się, że to co przedtem było zbiorem indywidualnych punktów, dalej zbiorem nie jest. I grupy kwantowe to są takie grupy, w których elementy nie tworzą zbioru. Są to obiekty, z których po prostu nie można wybrać indywidualnych elementów. Powody tego wiążą się z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, mówiącą, że nie można z absolutną precyzją podać położenia cząstki w przestrzeni oraz jej prędkości. W fizyce klasycznej ważnym pojęciem jest przestrzeń fazowa. Podanie w niej punktu oznacza podanie położeń i prędkości. Jest ona sześciowymiarowa i każdy taki punkt ma sześć współrzędnych. Ale mechanika kwantowa mówi, że jest to niemożliwe, a to znaczy, że tej przestrzeni nie ma. Dobrze, mówimy, ale jest coś, co ją zastępuje, czyli przestrzeń kwantowa, pozbawiona indywidualnych punktów. I teraz analogicznie, gdy mamy grupę, to mamy indywidualne symetrie, z tym że mnie interesuje sytuacja, kiedy żadnej takiej indywidualnej symetrii nie można wyciągnąć ze względu na coś w rodzaju zasady nieoznaczoności. Teoria takich obiektów to właśnie teoria grup kwantowych.

 

Do czego ta teoria może być przydatna?

Odpowiadając na tak postawione pytanie jestem w trudnej sytuacji, bo wiele nadziei, jakie z tym pojęciem wiązano na początku, w latach 80., nie ziściło się. W tej chwili w fizyce cząstek elementarnych mamy wiele kłopotów, z których część ma charakter fundamentalny. Istnieją teorie, których fragmenty dość dobrze opisują to, co obserwujemy, ale w całości te teorie są niespójne, tzn. nie sposób ułożyć ich w jedną teorię, w której nie byłoby sprzeczności. Fizycy o tym wiedzą, dlatego starają się posługiwać jednymi teoriami i zapomnieć o innych, bo w przeciwnym razie oszaleliby. Otóż są różne próby wyjścia z tej sytuacji, np. pomysł, że może grupy, których używamy, nie są dobre i trzeba je nieco zmienić. Ale okazuje się, że są one bardzo sztywne. Z tym że można by je lekko deformować w kierunku grup kwantowych, lepiej oddających istotę rzeczy. Niestety, upłynęło dwadzieścia parę lat i okazało się, że skończyło się na obietnicach. Przez ten czas nikt na serio nie zastosował tej teorii do rozwiązania problemów w fizyce. A więc wisimy trochę w próżni, chociaż powstała z tego bardzo ładna konstrukcja matematyczna, która mnie osobiście w pełni zadowala.

 

W jaki sposób nad taką teorią się pracuje? Czy przychodzi moment olśnienia, jasności umysłu, w którym widzi się całą konstrukcję?

Coś takiego. Jasno się tego opisać nie da. W każdym razie potem, kiedy człowiek już coś zrozumie, musi sprawdzić, czy to tak rzeczywiście jest.

 

Przy użyciu papieru i ołówka, a może komputera?

Komputera używam tylko do sprawdzenia tego, co wykonałem przedtem na papierze. Dowcip polega na tym, że jak się pracuje na papierze, różne pomysły przychodzą do głowy w trakcie. Podczas robienia rachunku zauważa się nowe możliwości, ciekawe przejścia, a także rzeczy zbędne, które można pominąć. Jest czas na refleksję. Tymczasem podczas pracy na komputerze człowiek jest skupiony na tym, żeby poprawnie wstukać problem. Potem dostaje rozwiązanie, ale o jego szczegółach niewiele wie, tego już komputer nie zdradza.

 

Czy potrzeba zapisywania wzorów dopada pana często i w różnych sytuacjach? To nie jest pisanie wzorów. Widzi pan? Oto zeszyt, w którym pracuję. Jak sądzę, te rachunki mocno odbiegają od tego, co pan sobie wyobrażał. Najczęściej to są rozmaite rysunki, które pozwalają mi wyobrazić sobie problem. To znacznie ważniejsze niż samo rachowanie, pisanie wzorów.

 

Wygląda trochę jak zeszyt znudzonego lekcją licealisty.

Zapewniam pana, że ten tutaj prosty rysunek symbolizuje bardzo skomplikowane wyrażenie. Rachunki wyglądają tak, że ja wykonuję pewne przesunięcia linii. Pisane jest to chaotycznie, na różnych stronach, bo coś nagle przychodzi do głowy i człowiek spieszy się, żeby zapisać. Bardzo często pojawiają się diagramiki. W sumie jest to bardziej operowanie pewnymi obrazami niż liczbami.

 

Czy pan się czymś inspiruje?

Co jakiś czas pojawia się jakiś pomysł w dziedzinie, którą się zajmuję. Na początku trzeba zwykle rozeznać, co on oznacza. Tworzy się przy tym duże pole dla łatwej roboty, na które rzuca się kilkaset osób na świecie. Po roku ta praca jest zrobiona, a nieco dalej pojawia się inne pole i większość z tych osób przemieszcza się tam. Ale okazuje się, że na tym pierwszym obrobionym polu są ciekawe podejścia pod górę, prowadzące w różne miejsca. I one mnie interesują. Z tym że zajęcie się nimi wymaga już znacznie więcej wysiłku. Trzeba się zaangażować psychicznie, czasowo. No i czasem ponosi się porażkę, bo wchodzi się w ślepą uliczkę. Wtedy trzeba umieć w porę wycofać się, bo można się zagrzebać i łatwo stracić kontakt z rzeczywistością. Ja w swoim życiu miałem parę takich ciekawych podejść pod górę. Najpierw, kiedy po studiach zająłem się aksjomatyczną kwantową teorią pola i udowodniłem jedno twierdzonko odnotowane w fachowym czasopiśmie zagranicznym. Potem w latach 70. nastąpiło poważniejsze wejście w algebrę operatorów, w tym czasie napisałem prace do dzisiaj znane i cytowane. Wreszcie w latach 80. zająłem się grupami kwantowymi. Teoria zwartych grup kwantowych jest w dużej mierze moim indywidualnym osiągnięciem.

 

Z iloma ludźmi może pan poważnie porozmawiać o tym, czym się pan zajmuje?

W Polsce jest ich ze dwudziestu. A na świecie? Opowiem panu pewną historię. Kiedyś poleciałem na konferencję do Izraela i na lotnisku byłem przepytywany na tę okoliczność przez agentów Mosadu. To były dwie młode kobiety. W pewnym momencie spytały, czy mógłbym przedstawić najistotniejsze punkty referatu, z którym miałem wystąpić na konferencji. Powiedziałem uprzejmie, że nie, bo one i tak nic z tego nie zrozumieją. Jedna z nich rozsądnie spytała: a skąd pan wie? Wtedy odpowiedziałem: stąd, że znam osobiście wszystkich ludzi na świecie, którzy są w stanie to zrozumieć.

 

 
Prof. dr hab. Stanisław Lech Woronowicz (63 lata), fizyk z Katedry Metod Matematycznych Fizyki na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Od ponad 20 lat pracuje nad teorią grup kwantowych, autor pierwszej pracy na ten temat. Badania przyniosły mu rozgłos i uznanie. Przez niektórych autorów jest uważany za jednego z trzech współtwórców tej teorii. Teoria grup kwantowych jest najbardziej rozwijającym się działem fizyki matematycznej, który tworzy nowe modele matematyczne teorii fizycznych.

Czytaj także

W nowej POLITYCE

Zobacz pełny spis treści »

Poleć stronę

Zamknij
Facebook Twitter Google+ Wykop Poleć Skomentuj