Nauka

W poszukiwaniu niewyobrażalnego

Świat geometrycznie doskonały

Sfera jest jedną z doskonałych struktur geometrycznych. Żyjemy więc, z punktu widzenia geometrii, w świecie doskonałym. Sfera jest jedną z doskonałych struktur geometrycznych. Żyjemy więc, z punktu widzenia geometrii, w świecie doskonałym. Wikipedia
Rozmowa z dr. hab. Piotrem Niemcem, matematykiem, laureatem Nagrody Naukowej POLITYKI, o foremnościach, doskonałościach i światach idealnych.
Dr Piotr Niemiec, adiunkt w Katadrze Analizy Funkcjonalnej  Wydziału Matematyki  i Informatyki na Uniwersytecie Jagiellońskim.Tadeusz Późniak/Polityka Dr Piotr Niemiec, adiunkt w Katadrze Analizy Funkcjonalnej Wydziału Matematyki i Informatyki na Uniwersytecie Jagiellońskim.
Polityka
materiały prasowe

Przemek Berg: – Zajmuje się pan tzw. topologią zwartych przestrzeni metrycznych. Czego dotyczy ta nauka?
Piotr Niemiec: – Mówiąc skrótowo, zajmuję się kształtem geometrycznym. Generalnie w topologii nie ma kształtu. Jeśli topolog weźmie gwóźdź i zacznie go rozciągać, skręcać i wyginać, to dla niego jest to cały czas ten sam gwóźdź, natomiast z punktu widzenia topologii metrycznej w powyginanym i poskręcanym gwoździu zaszło wiele zmian i powstał w ten sposób zupełnie inny świat niż gwóźdź początkowy. To jest mój punkt widzenia – topologa metrycznego: kształt geometryczny ma niemal centralne znaczenie.

Czyli jest pan takim trochę nietypowym topologiem...
Topologię, i w ogóle całą matematykę, od dobrych 50 lat charakteryzuje myślenie kategoryjne: można powiedzieć, że każdy matematyk zwraca uwagę na inne rzeczy, w zależności od tego, czym się zajmuje. Da się to zilustrować następującym przykładem: Jest miasto, w którym jednego dnia nazwiska wszystkich jego mieszkańców zostają zmienione. Dla taksówkarza nie ma to żadnego znaczenia, nic się nie zmieniło – on ciągle jeździ w te same miejsca. Natomiast dla urzędu, który zajmuje się ewidencją ludności czy pomocą społeczną, taka zmiana będzie absolutną rewolucją, ponieważ trzeba wszystko zaktualizować, tworzyć nowe bazy danych itd. To jest myślenie kategoryjne. Jeśli jestem topologiem metrycznym, to kształt geometryczny ma dla mnie podstawowe znaczenie. To rzadkość w topologii.

Co dokładnie w kształtach geometrycznych jest dla pana najważniejsze?
Interesuje mnie, jakie kształty można nadawać strukturom topologicznym i na ile doskonałe mogą być. Co to znaczy, że kształt może być doskonały lub – bardziej matematycznie – foremny? Otóż jeśli zamienimy się teraz miejscami, to natychmiast zauważymy, że coś się zmieniło – pewne przedmioty są w innym położeniu w stosunku do nas niż poprzednio – ale gdy wezmę idealnie okrągłą pomarańczę bez żadnych punktów wyróżnionych na skórce, np. śladów po szypułkach, i np. z maleńkim robaczkiem na niej, po czym przestawię robaczka w inne miejsce na skórce, to on nie zauważy różnicy: będzie mu się wydawało, że jest w tym samym punkcie co poprzednio. I to jest właśnie foremność kształtu, jego doskonałość. Ten kształt jest w pewnym sensie idealny, doskonały. Jeśli go obrócimy w dowolnym kierunku, to ktoś, komu o tym nie powiemy, nie zarejestruje żadnej zmiany, stwierdzi, że nic się nie stało, nic się nie zmieniło. Badam m.in., jak dalece kształt jest niedoskonały lub jaki jest poziom jego doskonałości.

Jak rozpoznać doskonały, foremny kształt?
Jeśli wezmę dwa punkty na powierzchni idealnie gładkiej i okrągłej skórki pomarańczy, czyli na sferze, i zechcę, żeby pierwszy punkt znalazł się w miejscu drugiego, to mogę tak obrócić pomarańczą, że będzie ona zajmowała wciąż ten sam obszar, a zadanie zostanie wykonane: pierwszy punkt znajdzie się w miejscu drugiego, a drugi w miejscu pierwszego. Jeśli jednak wezmę pod uwagę całą pomarańczę i powiem: chcę, żeby jej pestki znalazły się w miejscu skórki, to od razu widać, że muszę zmienić jej globalne położenie w przestrzeni i to mi jednocześnie mówi, że ów kształt foremny, czyli doskonały, nie jest.

Czy poza sferą jest wiele kształtów doskonałych?
Na przykład okrąg. Gdyby ta obrączka, którą mam na palcu, stała się nieskończenie cienka, jak niteczka, i wybrałbym pewien punkt na niej oraz powiedział: zróbmy tak, żeby ten punkt spod palca znalazł się nad palcem, to w tym celu dokonałbym jej obrotu. I znowu ktoś, kto nie będzie nic o obrocie wiedział, powie, że tu nie nastąpił żaden ruch. Nic się nie zmieniło. To jest doskonałość kształtu.

Ale właściwie dlaczego te doskonałe kształty pana zajmują?
Interesuje mnie, jakie właściwości musi mieć struktura, by można jej było nadać doskonały kształt, i jeśli jest on już doskonały, to jakie są tego konsekwencje. Historia ta jest już dość stara i sięga połowy lat 50. XX w., a konkretnie odkrycia dwóch genialnych matematyków – Hsien-Chung Wanga oraz Jacque’a Titsa – którzy znaleźli wszystkie kształty doskonałe. Ich pierwszym wielkim odkryciem było to, że wszystkie kształty doskonałe muszą być topologicznymi rozmaitościami. Co to są rozmaitości topologiczne? – od razu uprzedzam pytanie. Otóż rozmaitością jednowymiarową jest świat, który lokalnie wygląda jak kawałek prostej, dwuwymiarową – świat, który lokalnie wygląda jak kawałek płaszczyzny, i analogicznie – trójwymiarową, gdy „w zasięgu horyzontu” wygląda jak przestrzeń trójwymiarowa. Ale – co bardzo ważne – tak jest tylko lokalnie. Jeśli bowiem oddalimy punkt widzenia i spojrzymy z dalszej perspektywy, zobaczymy, że obserwowana całość nie jest prostą, lecz np. ogromnym okręgiem; podobnie z płaszczyzną – że jest np. dętką. Dobrą lekcję na temat rozmaitości daje nam historia – dawne postrzeganie Ziemi. Kiedyś Ziemia „była” płaska, dopiero zaawansowane pomiary lub możliwość oglądu Ziemi z dalszej perspektywy ukazały jej kulistość.

Powróćmy do odkrycia Wanga i Titsa.
Oni znaleźli wszystkie kształty doskonałe. Do tych, które możemy ogarnąć wzrokiem, należą jedynie: prosta, płaszczyzna, sfera, okrąg i cały świat. Każdy był wprawdzie znany wcześniej jako doskonały, ale Wang i Tits pokazali, że nie ma innych. To było wielkie odkrycie. Fakt, że wszystkie kształty doskonałe można wymienić i że nie ma innych, w mojej ocenie ma ogromne konsekwencje o charakterze filozoficznym lub nawet religijnym. Otóż świat, który dał nam Stwórca do życia, jest światem – z punktu widzenia topologii metrycznej – doskonałym. Najdoskonalszym.

Podejrzewam, że Schopenhauer raczej by się z tym stwierdzeniem nie zgodził...
Tu znów wracamy do myślenia kategoryjnego. I fizyk, i chemik czy filozof mogą się z tym stwierdzeniem kompletnie nie zgadzać i mają do tego prawo. Wiemy, w jakim świecie żyjemy, i wiemy też, że to ludzie przede wszystkim czynią ten świat nie tak doskonałym, jak byśmy chcieli. Jednak z punktu widzenia kształtu geometrycznego jest on doskonały. Jedyne, o co można by mieć żal do Stwórcy, to wymiar naszego świata: dlaczego nie dał nam czwartego wymiaru, dlaczego zatrzymał się na trzecim?

W latach 80. XX w. odkryto, że w czwartym wymiarze – i tylko w czwartym – istnieje nieskończenie wiele geometrii różniczkowych. W żadnym innym – niższym czy wyższym wymiarze – czegoś takiego nie ma, pozostałe światy mają tylko po jednej strukturze różniczkowej. To zdumiewające odkrycie, nie tylko z punktu widzenia matematyki. Pewnie gdybyśmy żyli w czwartym wymiarze, moglibyśmy fałszować i zaburzać świat.

W jaki sposób?
Współcześnie zegarowi czasu nadaje się status czwartego wymiaru, a ludzkość od dawna fascynuje problem złamania jego bariery. Kto wie – gdybyśmy żyli w czterech wymiarach, może to właśnie oś czasu byłaby dla nas w pełni dostępna? Tzn. może moglibyśmy przemieszczać się także w czasie? A gdyby tak było, fałszowanie historii byłoby na porządku dziennym. Taki świat to byłby istny chaos. Nie chciałbym jednak, aby te moje słowa o konsekwencjach życia w czterech wymiarach uznano za pogląd naukowy – to raczej zwykłe gdybanie.

Mimo młodego wieku dokonał pan już w topologii przestrzeni metrycznych ważnych odkryć. Czego one dotyczą?
Mam własny gust matematyczny i pewne moje twierdzenia podobają mi się bardziej od innych moich, może nawet z naukowego punktu widzenia ważniejszych. Moje ulubione twierdzenie dotyczy... i tu może być pewien problem z wyjaśnieniem... rozpoznawania grup izometrii. Izometria to taka zmiana świata, po której nie dostrzegamy żadnej różnicy. Nawet topolog metryczny jej nie dostrzega. Dopiero może fizyk coś zauważy. Punkty, które zmieniły położenie, tam, gdzie się znalazły, nadal „widzą” świat tak samo jak przed zmianą. Ziemia obraca się wokół własnej osi, ale poza tym, że następują dnie i noce, niczego to w naszym życiu nie zmienia – dalej do sklepu mam pół kilometra i jutro też będę miał dokładnie tyle.

Bierzemy świat bez kształtu (czyli bez metryki) i ustalamy zestaw dozwolonych w nim ruchów (przekształceń). Startujemy od dowolnego zestawu i dowolnego świata. Pytanie brzmi: czy możemy światu nadać taki kształt, żeby każde z tych dozwolonych przekształceń stało się izometrią, i co więcej – to może najważniejsze – żeby żadnych innych izometrii już nie było. Udało mi się podać warunek równoważny, a więc ustalić, jakie własności musi spełniać zestaw ruchów dozwolonych, żeby takowy kształt istniał.

Prace, które pan prowadzi, mają charakter czysto teoretyczny, czy też można znaleźć dla nich jakieś zastosowania?
Czysto teoretyczny. Takie było moje założenie od samego początku. Chciałem zajmować się czystą matematyką – w niej dostrzegłem szczególne piękno – a nie badaniem świata za pomocą matematyki. Nigdy nie interesowały mnie zastosowania praktyczne. Chociaż oczywiście byli i są genialni matematycy, mocno nastawieni na aplikacyjność tej nauki. Na przykład wielki matematyk John von Neumann. To on stworzył matematyczne podstawy mechaniki kwantowej i przyczynił się do narodzin informatyki. Był geniuszem matematycznym, którego nad wyraz podziwiam, zainteresowanym możliwościami zastosowania swoich odkryć.

Czy do pracy, którą pan wykonuje, potrzebny jest jakiś dodatkowy zmysł przestrzenny? Czy próbuje pan światy, które pan bada, jakoś wizualizować?
Istnieje dość uproszczone wyobrażenie wśród ludzi niezajmujących się matematyką, że matematycy muszą mieć wyśmienitą orientację przestrzenną, a nawet wielowymiarową. To nieporozumienie, chociaż rozumiem to pytanie skierowane akurat do mnie; zajmuję się przecież wszystkimi światami, które mają kształt geometryczny, czyli metrykę. Geometria, którą znamy, dzieje się tylko w wymiarach, które są dla nas dostępne, zmysłowo uchwytne. Mnie akurat ta geometria niezbyt interesuje, ponieważ jest wyobrażalna, ja natomiast zajmuję się poszukiwaniem struktur niewyobrażalnych. Pewnych kształtów geometrycznych, które badam, nie da się w żaden sposób zwizualizować, z tej prostej przyczyny, że mają nieskończony wymiar.

Matematykę się tworzy czy też raczej odkrywa?
To jedno z ciekawszych pytań o matematykę, choć niematematyczne. Niejedni uważają, że matematykę się tworzy, ja jednak myślę, że my, matematycy, jesteśmy bardziej odkrywcami niż twórcami. Choćby dlatego, że każde twierdzenie jest prawdziwe, niezależnie od tego, czy o tym wiemy czy nie. Prawo matematyczne jest prawdziwe wcześniej, niż to zauważamy. Oczywiście jest to moja prywatna opinia. Można by też powiedzieć, że istnieją dwie matematyki: ta, którą zna ludzkość – tę tworzymy i powiększamy – oraz druga, która jest bytem absolutnym o niezmiennej zawartości – to ją odkrywamy. Pierwsza jest tylko kawałeczkiem drugiej.

Jak pan pracuje? Kiedy i jak rozwiązuje pan matematyczne problemy? Czy czeka pan na błysk, olśnienie, czy dochodzi do celu żmudną pracą?
Myślę o matematyce bez przerwy. Zdarza mi się nawet rozmawiać z kimś i jeśli to jest rozmowa lekka, jednocześnie rozmyślam nad problemami. Gdy wychodzę z uczelni, gdy jadę pociągiem, gdy odprowadzam dzieci do szkoły, czasem nawet gdy siedzę z żoną przed telewizorem i coś oglądamy. Jeśli natomiast chodzi o rozwiązanie konkretnego problemu, są tu dwie możliwości: albo od razu wpada się na właściwy trop i po pewnym czasie już widać, że to „to”, więc trzeba szybko wyjąć kartkę i przelać na nią myśli; albo – równie często – pomysł, który wpadnie do głowy, utknie i wtedy zatrzymuję się, bo nie bardzo wiem, co dalej. Tak np. było z twierdzeniem o ruchach dopuszczalnych, o którym mówiłem wcześniej. Sformułowałem je półtora roku przed znalezieniem rozwiązania, do którego poszukiwań zabierałem się co najmniej trzy razy. Po pierwszym nieudanym podejściu odłożyłem rzecz na później, po kilku miesiącach spróbowałem jeszcze raz, ale znowu nic. Dopiero jeszcze później, nagle, zajmując się jakimś innym, pokrewnym zagadnieniem, wpadłem na ideę, która okazała się trafna.

Poszukując rozwiązania problemu, już na starcie badacz staje na rozdrożu i musi odgadnąć, która z dwóch ścieżek prowadzi do celu: czy potwierdzić prawdziwość twierdzenia czy też je obalić? Zupełnie inaczej atakuje się problem, jeśli chcemy wykazać jego prawdziwość, a zupełnie inaczej, gdy chcemy go obalić. Fascynujące jest to, że chociaż do celu prowadzi tylko jedna droga, historia pokazała już wielokrotnie, że przeczesywanie tej błędnej może przyczynić się do narodzin nowej teorii.

rozmawiał Przemek Berg

***

Dr hab. Piotr Niemiec (ur. w 1976 r.) jest adiunktem w Katedrze Analizy Funkcjonalnej Wydziału Matematyki i Informatyki na Uniwersytecie Jagiellońskim.

Topologia, którą się zajmuje, należy do najbardziej wyrafinowanych dziedzin matematyki, dotyczy zagadnień związanych z deformowaniem przestrzeni. Dr Niemiec jest topologiem niebywale uzdolnionym, samodzielnym i konsekwentnym. Udało mu się rozwiązać kilka otwartych problemów matematycznych, czekających na to od blisko 20 lat.

Polityka 48.2014 (2986) z dnia 25.11.2014; Nauka; s. 86
Oryginalny tytuł tekstu: "W poszukiwaniu niewyobrażalnego"
Więcej na ten temat
Reklama

Codzienny newsletter „Polityki”. Tylko ważne tematy

Na podany adres wysłaliśmy wiadomość potwierdzającą.
By dokończyć proces sprawdź swoją skrzynkę pocztową i kliknij zawarty w niej link.

Informacja o RODO

Polityka RODO

  • Informujemy, że administratorem danych osobowych jest Polityka Sp. z o.o. SKA z siedzibą w Warszawie 02-309, przy ul. Słupeckiej 6. Przetwarzamy Twoje dane w celu wysyłki newslettera (podstawa przetwarzania danych to konieczność przetwarzania danych w celu realizacji umowy).
  • Twoje dane będą przetwarzane do chwili ew. rezygnacji z otrzymywania newslettera, a po tym czasie mogą być przetwarzane przez okres przedawnienia ewentualnych roszczeń.
  • Podanie przez Ciebie danych jest dobrowolne, ale konieczne do tego, żeby zamówić nasz newsletter.
  • Masz prawo do żądania dostępu do swoich danych osobowych, ich sprostowania, usunięcia lub ograniczenia przetwarzania, a także prawo wniesienia sprzeciwu wobec przetwarzania, a także prawo do przenoszenia swoich danych oraz wniesienia skargi do organu nadzorczego.

Czytaj także

Społeczeństwo

Dramat dzieci z wrodzonymi wadami

Co roku rodzi się ponad 2 tys. dzieci z głębokimi wadami. Ich rodziców czasem trzeba zastąpić lub im pomóc. Lecz nie ma kto tego zrobić.

Agnieszka Sowa
01.11.2016
Reklama

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną