Georg Cantor był geniuszem, ale gdyby już na początku swojej drogi – gdy jako student poświęcił się badaniu liczb – wiedział, do czego doprowadzi go studiowanie nieskończonych zbiorów, być może szybko by z niej zawrócił. Cantor samodzielnie stworzył teorię mnogości – nazywaną też teorią zbiorów – która obok logiki jest dzisiaj fundamentem nauk matematycznych i właśnie tam, w konstelacji zbiorów i podzbiorów, odnalazł niewidzialną ścieżkę prowadzącą do ważnej tajemnicy świata. Wszedł na nią. Wprawdzie w aksjomatyzacji teorii mnogości pomagali mu inni matematycy, tacy jak Ernst Zermelo czy Abraham Fraenkel, ale zasadniczą pracę wykonał sam. Badając zbiory i relacje między nimi, natknął się na problem nieskończoności.
1.
Pierwszy ważny dowód Cantora dotyczył liczb wymiernych, czyli zwykłych ułamków.
Zacznijmy jednak od tego, że najprostszym i najbardziej zrozumiałym intuicyjnie zbiorem liczb nieskończonych są liczby naturalne, czyli 1, 2, 3, 4... Liczby te są nieskończone – zawsze nawet do największej liczby można przecież dodać 1 – ale policzalne. Cantor wykazał jednak, że także liczby wymierne (ułamki) są policzalne, że można je ustawić w odpowiedni ciąg i każdą ponumerować, każdej przyporządkować liczbę naturalną (tzw. rozumowanie przekątniowe). Liczby wymierne należą, wraz z naturalnymi, do pierwszego, policzalnego kręgu nieskończoności. Ułamków jest wprawdzie na osi liczbowej znacznie więcej niż liczb naturalnych, ale obie te nieskończoności są takie same. Można je zliczyć. Należą do pierwszego alefu; Cantor tak nazywał nieskończoności, które zaczął badać – alefami. W alfabecie hebrajskim alef jest oznaczony symbolem א.