Nauka

Magia przypadku

Jak matematycznie okiełznać przypadkowość

To nie sam rzut monetą jest przypadkowy, lecz nasze zdolności do jego przewidzenia. To nie sam rzut monetą jest przypadkowy, lecz nasze zdolności do jego przewidzenia. James Steidl / PantherMedia
Rozmowa z Avim Wigdersonem, izraelsko-amerykańskim matematykiem z Institute for Advanced Study w Princeton, o naturze przypadkowości, magii matematyki, rozkładzie, ale na czynniki pierwsze, oraz końcu świata, jaki znamy.
Avi Wigderson - matematyk z Institute for Advanced Study w Princeton.Hans Munthe-Kaas/Archiwum prywatne Avi Wigderson - matematyk z Institute for Advanced Study w Princeton.

Karol Jałochowski: – W codziennym życiu często mówimy o losie, szansie, o szczęściu. Ale pan zapewne myśli o przypadkowości w inny sposób.
Avi Wigderson: – Przypadkowość, którą zazwyczaj się zajmuję, jest wykorzystywana w procesach obróbki informacji. Najczystszą jej formą jest wynik rzutu monetą. Wyjmuje pan monetę z kieszeni i zanim wyrzuci ją w powietrze, pyta kogoś stojącego naprzeciwko o wynik. Rzuca pan sto razy i jeśli osoba ta zgadnie w nie więcej niż 50 przypadkach, to mamy do czynienia z przypadkowością – w każdym razie dla tego konkretnego obserwatora. Chcąc być nieco bardziej abstrakcyjni, powiemy, że rzut monetą generuje jeden bit przypadkowości, najmniejszą cząstkę przypadkowości. Reszka i orzeł mogą się zdarzyć z 50-proc. prawdopodobieństwem.

Do czego można użyć takich bitów?
Fantastycznym przykładem mocy czystej przypadkowości są sondaże. Wiadomo, że nie sposób zapytać o preferencje każdego obywatela, pyta się więc na przykład dwa tysiące osób. Okazuje się, że jeśli tylko są one naprawdę przypadkowe, to znaczy, że każdy zbiór dwóch tysięcy osób ma tę samą szansę bycia zapytanym, to preferencje całej populacji będą takie same – z dokładnością do jednego procenta. To niezwykłe! Co więcej, okazuje się, że liczba ta nie zależy od rodzaju badanego społeczeństwa. W identyczny sposób możemy badać Amerykanów, Chińczyków, ba – nawet własności gwiazd na niebie.

Jest coś takiego jak absolutna, czysta przypadkowość – czy też zawsze zależy ona od tego, kto pyta?
Doskonałe pytanie! Nauki teoretyczne i doświadczalne zwykle postrzegają przypadkowość jako coś istniejącego obiektywnie. Definiują absolutne prawdopodobieństwa wydarzeń takich jak nasz rzut monetą. Rodzi się jednak pytanie, czy takie definicje są użyteczne? Obliczeniowe rozumienie przypadkowości zakłada, że ma ona charakter bardziej subiektywny.

Jak to rozumieć?
Opowiem prostą historię. Kiedy wyciągnę z kieszeni monetę i nią rzucę, pańskie przewidywania będą trafne w połowie przypadków. Dla pana wyniki rzutów monetą to przypadkowe zdarzenia. Ale kiedy sfilmujemy ten proces kilkoma kamerami podłączonymi do superkomputera, biorącego pod uwagę warunki zewnętrzne, momenty obrotowe monet i tak dalej, będziemy w stanie orzec z całą pewnością, czy wypadnie reszka czy orzeł. Oznacza to, że to nie wynik rzutu był przypadkowy, lecz pańska zdolność do jego przewidzenia. To obserwator determinuje poziom przypadkowości. Tak właśnie powinno się ten problem badać. To bardzo drogi mi punkt widzenia – nowy, wywodzący się z nauk o komputerach.

Czy jest jakieś dno, jakiś absolut przypadkowości?
Nic mi o nim nie wiadomo. Nie wiem, czy świat jest przypadkowy czy deterministyczny, wynikający wprost z warunków początkowych. Ludziom często się wydaje, że jeśli jakieś zjawisko jest przypadkowe, to nic nie możemy z nim począć, zanim się nie wydarzy. Być może to duży błąd. Niektóre przypadkowe zdarzenia są znacznie bardziej przewidywalne niż inne. Jeśli rzucimy monetą sto razy, to i reszki, i orły wypadną mniej więcej w połowie rzutów. Można być tego niemal pewnym. Wiemy więc coś o zachowaniu całego systemu.

Jakie są najlepsze źródła przypadkowości?
Teoretycznie rzecz biorąc, należałoby zaaranżować eksperyment fizyczny, w którym emitowany jest na przykład pojedynczy elektron, po czym mierzony jest jego spin (kierunek „obrotu” – przyp. red.). Mechanika kwantowa przewiduje, że w połowie przypadków będzie on skierowany w dół, w połowie w górę, niezależnie od zdolności obliczeniowych obserwatora. Gdyby udało się skonstruować takie idealne urządzenie, doskonale wcielające teorię kwantową, i jeśli ta ostatnia jest na pewno poprawna, to byłaby to najlepsza metoda otrzymywania czystej przypadkowości.

Jest wiele przypadkowych, jak się wydaje, zjawisk w przyrodzie: jak pogoda lub giełdy papierów wartościowych. Ilość przypadkowości w nich zawarta nie jest tak duża jak w zjawiskach kwantowych, ale są metody pozwalające na jej oczyszczenie i wzmocnienie – i otrzymanie czegoś przyzwoitego. To nowa dziedzina badań, licząca sobie jakieś 20 lat.

Jak taki proces przebiega? Da się to wyjaśnić zwykłemu człowiekowi?
Jasne, wszystko się da, czasem tylko trzeba nad tym popracować… Jednym z pomysłodawców takiej puryfikacji był John von Neumann (1903–57). Ten urodzony na Węgrzech, a pracujący w USA, wielki matematyk potrzebował przypadkowości do swoich symulacji komputerowych. Już daję panu prosty przykład.

Załóżmy, że dysponujemy monetą, która jest niesymetryczna i nie wiemy, jak wygląda prawdopodobieństwo wypadnięcia orła i reszki. Chcemy jednak otrzymać ciąg doskonale przypadkowych bitów. Co więc robimy? Von Neumann podpowiedział, żeby rzucić monetą dwukrotnie – i odnotować wynik. Jeśli dwa razy wypadnie to samo, powtarzamy rzuty. Jeśli wyniki były różne, zapisujemy układ orzeł-reszka jako „jeden”, a reszka-orzeł jako „zero”. Kolejność decyduje o wyniku. Bardzo łatwo dostrzec, że te dwie kolejności są równie prawdopodobne. Zatem z dwóch wyników otrzymujemy jeden czysty bit przypadkowości.

OK, zatem do czego potrzebna jest ta oczyszczona przypadkowość?
Jest szalenie przydatna w wielu sytuacjach. To wspaniały surowiec. Przypadkowość pozwala na uprawianie i umożliwianie hazardu w uczciwy sposób – to znaczy bez obawy, że ktoś nas oszukuje. Przypadkowość pozwala na podejmowanie sprawiedliwych decyzji na drodze losowania. Innym ważnym jej zastosowaniem są wykorzystujące losowość algorytmy, na przykład wynaleziona podczas budowy bomby atomowej metoda Monte Carlo. Dzięki wstrzykniętym do tego algorytmu elementom przypadkowości pozwala ona zrozumieć to, co dzieje się na przykład wewnątrz bomby lub reaktora atomowego.

Przypadkowość jest też ekstremalnie ważna w kryptografii. Ludzie nie zdają sobie sprawy, że robiąc zakupy w internecie czy logując się na jakiekolwiek konto, za każdym razem używają systemów kryptograficznych wykorzystujących bity przypadkowości. Pojęcie tajemnicy w internecie jest wręcz pozbawione sensu bez bitów przypadkowości. Jeśli używa pan jakiejś procedury, a ja ją poznam, mogę podszyć się pod pana w sposób doskonały. Mogę stać się panem. Sekrety trzeba generować w sposób przypadkowy. Oczywiście, nie musimy robić tego własnoręcznie – robi to za nas laptop czy telefon.

Jednym z kluczowych problemów, w których przypadkowości użyto jako surowca, jest sprawdzanie, czy duże liczby są liczbami pierwszymi (dzielącymi się bez reszty tylko przez siebie i jeden – przyp. red.) czy nie. Tradycyjne metody wiązały się z kalkulacjami ciągnącymi się dłużej niż wiek Wszechświata. Robert Solovay i Volker Strassen wynaleźli algorytm probabilistyczny, który jest bardzo szybki, a polega na tym, że bierze się badaną liczbę, rzuca w nią garścią przypadkowych bitów, wykonuje parę prostych obliczeń i orzeka, czy jest pierwsza czy nie.

À propos rozkładu – trudność rozkładu na czynniki pierwsze jest do pewnego stopnia gwarantem stabilności całego współczesnego świata, prawda?
Ma pan absolutną rację. Właściwie wszystkie protokoły kryptograficzne używane obecnie przez nas, zwykłych ludzi, ale i przez banki oraz rządy, opierają się na domniemanej trudności tego procesu. To założenie może być fałszywe. Dziś nie znamy szybkiej metody rozkładu, ale jutro – kto wie?

Co więc się stanie, kiedy któryś z panów odkryje jakąś zaskakująco prostą metodę rozkładu na czynniki pierwsze?
W kryptografii znamy pewne jej alternatywy. Nie za wiele – może z pięć, może dziesięć. Mało kto je stosuje, bo to kosztowna zabawa. Ale być może zostaniemy do niej zmuszeni. Oczywiście czas przejścia od tradycyjnych metod szyfrowania do nowej kryptografii będzie dla świata niezwykle chaotyczny... Sympatycznie perwersyjnym pytaniem, które można zadać matematykowi, jest: A co zrobisz, kiedy odkryjesz taką szybką metodę?

Teoretycznie pewnym zagrożeniem są też kwantowe komputery, które poradzą sobie z rozkładem bardzo sprawnie – ale one jeszcze nie istnieją. Wiele osób usiłuje je zbudować. Nie ma pewności, jakie są zasadnicze trudności – może tylko technologiczne, a może głębszej natury, dotykającej istoty mechaniki kwantowej.

Załóżmy na chwilę, że zostaną skonstruowane.
Metody oparte na rozkładzie liczb będą musiały opuścić salę. Pozostałe metody kryptograficzne wydają się niełatwe do złamania nawet dla komputerów kwantowych. Trzeba przy tej okazji pamiętać, że silniejszy będzie nie tylko atakujący, ale i użytkownik. On także będzie mógł używać kwantowych komputerów. Gra zostanie więc przeniesiona na wyższy poziom. W istocie tak już się zaczyna dziać, pojawiają się nowe protokoły kryptograficzne działające w środowisku kwantowym.

Da się wytłumaczyć zasadę ich działania?
Opierają się na przykład na funkcjach jednokierunkowych, czyli procedurach, które łatwo przeprowadzić w jedną stronę, a trudniej odwrócić. Łatwo jest liczby pomnożyć, trudniej zdekomponować na mniejsze czynniki. Wiele procesów obserwowanych na co dzień wydaje się jednokierunkowych. Robiąc omlet, bierze pan jajka, robi, co trzeba, i otrzymuje omlet. To ten łatwy kierunek. Przywrócenie pierwotnych składników omletu wydaje się trudniejsze. Ale fizyka go nie zabrania. Informacja na temat jajka znajduje się przecież w omlecie. System kryptograficzny można zbudować, wykorzystując każdy podobny proces.

Wspomniał pan o probabilistycznych metodach stosowanych w matematyce. Czy to oznacza, że powinniśmy zacząć myśleć o niej jak o nauce eksperymentalnej?
Nie. Można osiągnąć pewne rezultaty, używając metod probabilistycznych, ale nie ma to związku z eksperymentem. Po prostu liczymy. Przeprowadzamy doświadczenia myślowe. Nie potrzebujemy żadnej realnie istniejącej przypadkowości. Wystarczą definicje. Istnieją oczywiście eksperymentalne aspekty matematyki. Matematyka jest używana w eksperymentach. Matematycy pomagają sobie komputerami. Ale sama w sobie jest wciąż dziedziną czysto myślową.

Greg Chaitin, matematyk, barwna postać, mawia, że matematyka to baśń, użyteczny mit. Życie jest paskudne, zabałaganione, a ona piękna, dlatego ją wybrał. A pan?
Po pierwsze, nie zgadzam się z tym, że życie jest paskudne. Myślę, że życie jest piękne. Taaa... Są pewne aspekty życia, które są nieprzyjemne. Ale myślę, że Chaitin miał bardziej na myśli realne systemy fizyczne. Ale i one wydają mi się piękne. Są trudne do zrozumienia – choćby te biologiczne. Jak wyewoluowaliśmy z pojedynczej komórki? To niesamowite! Jak to się dzieje, że żyjemy, że nie umieramy minutę po narodzinach! To magia!

Natomiast w zupełności się zgadzam, że matematyka jest piękna. To właśnie mnie do niej przyciągnęło. Lubię to, że rzeczy można dokładnie zdefiniować, że nie ma dyskusji, czy coś jest poprawne czy nie.

 

Dlaczego matematyka tak zgrabnie pasuje do rzeczywistości? Czy dlatego, że odzwierciedla prawdziwą jej naturę, czy to raczej, nomen omen, przypadek?
To świetne pytanie – i nie wiem, jak na nie odpowiedzieć. Jest taki słynny artykuł Eugene’a Wignera o niepojętej skuteczności matematyki w badaniach systemów fizycznych. Jest wiele magii w tym, jak wyrafinowane gałęzie matematyki, wynalezione tylko dla ich wewnętrznego piękna, jak teoria grup czy tensory, świetnie tłumaczą zjawiska fizyczne. Nie wierzę, że dzieje się tak wyłącznie dlatego, że tylko takimi właśnie dysponujemy narzędziami. To by było szyte grubymi nićmi. Ale jest wiele zjawisk, których nie rozumiemy, dla których wytłumaczenia nie mamy, być może, właściwej matematyki i musimy ją dopiero wymyślić. Czasem więc narzędzia matematyczne są wynajdywane na potrzeby nauk fizycznych. Wtedy sprawa adekwatności jest jasna. Ale jest wiele dziedzin, choćby biologia czy ekonomia, w których bada się wielkie systemy i gdzie współczesna matematyka okazuje się umiarkowanie użyteczna.

I co tu począć w takiej sytuacji?
Systemy jak układ immunologiczny czy nowotwór wymagają zapewne bardziej złożonych teorii, nieprzybierających postaci pięciu czy sześciu równań. Sama najbardziej podstawowa natura czegoś, co zwiemy rozwiązaniem, będzie musiała ewoluować.

Teorie fizyczne oczywiście też są w istocie algorytmami. Tyle że przyjmują prostą formę. Są użyteczne, bo możemy załadować do nich parametry i łatwo otrzymać odpowiedź. Bardziej wyrafinowane systemy będą wymagały bardziej złożonych algorytmów. Uznamy, że rozumiemy system, jeśli będziemy w stanie przewidzieć to, jak się zachowa w danej sytuacji.

Fizycy, jak Roger Penrose i Max Tegmark są platonikami. Wierzą w istnienie absolutnej matematyki, świata idealnego. Pan, jak rozumiem, platonikiem nie jest?
Nie jestem filozofem. Matematyka jest wspaniałym źródłem badawczym, czymś, czego dzieci powinny się uczyć, żeby dokonywać trafnych ocen w prawdziwym życiu. Matematyka jest logiką, klarownością pozwalającą odsiewać to, co istotne, od tego, co błahe. A rzeczywistość? Wydaje się, że jesteśmy daleko od jej zrozumienia. Choć zapewne rozumiemy ją coraz lepiej – zwalczamy niektóre choroby, jakość życia rośnie. Nie stawiam matematyki w kontraście do rzeczywistości. To wyprawa intelektualna, ale niewiele różna od dyskusji na temat widzianego ostatnio filmu.

rozmawiał Karol Jałochowski

 

 

Avi Wigderson ma jedną kłopotliwą cechę – bardzo trudno go dogonić. Ale nie chodzi o to, że ścieżka kariery naukowej tego wybitnego matematyka urodzonego i wychowanego w Izraelu biegnie przez kilka najlepszych instytucji naukowych tego świata: Hebrew University, Berkeley, IBM Research w San José. Wigderson, który pracuje obecnie w Institute for Advanced Study w Princeton, jest osobą całkowicie bezpretensjonalną. Otrzymał prestiżową nagrodę Gödla oraz przyznawaną tylko raz na cztery lata nagrodę Nevanlinny, ale te i inne wyróżnienia nie pozostawiły wyraźnych szkód na jego uroku osobistym. Problem z doścignięciem Wigdersona nie wynika także z egzotycznego i nowatorskiego charakteru dziedzin, którymi się para i które współtworzył, teorii złożoności, teorii obliczeń, bo jest on cenionym wykładowcą i wychowawcą, co w kontaktach ze zwykłymi śmiertelnikami tłumaczy się na: cierpliwy i uroczy gaduła. Dogonić tego urodzonego w 1956 r. matematyka trudno, bo zbiega po schodach niczym himalajska pantera śnieżna w pogoni za kozicą – pokonując po kilka karkołomnych stopni naraz. Ale gonić warto. Już po krótkiej rozmowie okaże się, jak przedziwny i daleki od naszych codziennych intuicji jest główny obiekt jego zainteresowań: przypadkowość.

Polityka 51-52.2013 (2938) z dnia 17.12.2013; Nauka; s. 94
Oryginalny tytuł tekstu: "Magia przypadku"
Więcej na ten temat
Reklama

Codzienny newsletter „Polityki”. Tylko ważne tematy

Na podany adres wysłaliśmy wiadomość potwierdzającą.
By dokończyć proces sprawdź swoją skrzynkę pocztową i kliknij zawarty w niej link.

Informacja o RODO

Polityka RODO

  • Informujemy, że administratorem danych osobowych jest Polityka Sp. z o.o. SKA z siedzibą w Warszawie 02-309, przy ul. Słupeckiej 6. Przetwarzamy Twoje dane w celu wysyłki newslettera (podstawa przetwarzania danych to konieczność przetwarzania danych w celu realizacji umowy).
  • Twoje dane będą przetwarzane do chwili ew. rezygnacji z otrzymywania newslettera, a po tym czasie mogą być przetwarzane przez okres przedawnienia ewentualnych roszczeń.
  • Podanie przez Ciebie danych jest dobrowolne, ale konieczne do tego, żeby zamówić nasz newsletter.
  • Masz prawo do żądania dostępu do swoich danych osobowych, ich sprostowania, usunięcia lub ograniczenia przetwarzania, a także prawo wniesienia sprzeciwu wobec przetwarzania, a także prawo do przenoszenia swoich danych oraz wniesienia skargi do organu nadzorczego.

Czytaj także

Kultura

„Motel Polska”, czyli perwersyjna propaganda PiS

O nie, „Motel Polska” to nie jest produkcja żenująca. Nie jest obciachem, popisem złego gustu i amatorszczyzny. To produkt jak najbardziej przemyślany, diablo przewrotny i wyrachowany.

Jan Hartman
01.12.2020
Reklama

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną