Linia prosta bądź zakrzywiona jest tworem jednowymiarowym. Wystarczy bowiem podać jedną liczbę – współrzędną, aby określić położenie punktu na linii. W przypadku płaszczyzny mamy do czynienia z dwoma wymiarami. Do zlokalizowania punktu w otaczającej nas przestrzeni potrzeba trzech współrzędnych, co jest właśnie konsekwencją jej trójwymiarowości.
Euklides rozważa w „Elementach” figury płaskie i bryły, a więc obiekty dwu- i trzywymiarowe. Nie dopuszczał zapewne istnienia czwartego i wyższych wymiarów. Ptolemeusz – największy astronom starożytności – przedstawił nawet geometryczny dowód nieistnienia czwartego wymiaru, chociaż jego rozumowanie pokazuje jedynie, jak trudno sobie wyobrazić czterowymiarowy obiekt w naszej trójwymiarowej przestrzeni. Przez wieki więc nie interesowano się wielowymiarową geometrią w błogim przekonaniu, że nie ma ona żadnego odniesienia do rzeczywistości. Dopiero kaprys księcia matematyków sprawił, że problem został poważnie potraktowany. Carl Friedrich Gauss zażyczył sobie mianowicie, aby wykład habilitacyjny Georga Bernharda Riemanna poświęcony był podstawom geometrii.
Nowa geometria
Z zachowanej korespondencji wiadomo, że Riemann, zaprzątnięty innymi problemami, bez entuzjazmu przyjął propozycję. A jednak wyniki jego dociekań daleko wykroczyły poza oczekiwania Tajnego Radcy – jak Riemann zwykł tytułować swego nauczyciela. Data wygłoszenia wykładu – 10 czerwca 1859 r. – jest jedną z przełomowych dla nowej geometrii. Metody wypracowane przez Riemanna pozwoliły badać wymykające się naszej wyobraźni wielowymiarowe światy. Aby uchwycić, na czym polegają trudności w zrozumieniu geometrii czterowymiarowej, matematycy zwykli się odwoływać do żyjących na płaszczyźnie dwuwymiarowych płaszczaków, dla których trójwymiarowa przestrzeń jest równie abstrakcyjna jak dla nas czwarty wymiar.