Książki

Fragment książki: „Wielki zegar Wszechświata. Wiek geniuszy i narodziny nowoczesnej nauki”

materiały prasowe
W niewielu epokach marzenia o świecie idealnego porządku wydawałyby się mniej prawdopodobne niż pod koniec XVII wieku.

Rozdział 37. „Wszyscy ludzie stworzeni są równymi”
 
Okiełznanie nieskończoności stanowiło kolejny z tych przełomów, dzięki którym niegdyś zbijające z tropu „zero” albo „minus pięć” zaczyna się postrzegać po prostu z perspektywy czasu. Kluczem do sukcesu było przekazanie, żeby niestrudzenie stać twardo na ziemi i nigdy nie wyprawiać się na takie mroczne terytoria jak „natura nieskończoności”.

Abstrakcją, która miała ocalić świat, było pojęcie „granicy”. Jego matematyczny sens jest zbliżony do sensu codziennego. W jednej z debat wyborczych ze Stephenem Douglasem Abraham Lincoln zapytał swoich słuchaczy, dlaczego Deklaracja niepodległości stwierdza, że „wszyscy ludzie stworzeni są równymi”. Nie dlatego, że ojcowie założyciele wierzyli, iż wszyscy ludzie osiągnęli już równość, stwierdził Lincoln. Była to „oczywista nieprawda”. Ojcowie założyciele wskazali, oświadczył Lincoln, że równość dla wszystkich jest celem, „do którego powinno się nieustannie dążyć, na rzecz którego powinno się nieustannie pracować, a nawet jeśli nigdy się go w pełni nie osiągnie, nieustannie powinno się do niego przybliżać”.

W tym samym sensie granica matematyczna jest celem, punktem, do którego ciąg liczb coraz bardziej się zbliża. Ciąg ten nie osiąga granicy, ale coraz bardziej się do niej zbliża. Granicą ciągu 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001… jest liczba 0, nawet jeśli ten ciąg nigdy do niej nie dociera. Podobnie granicą ciągu 1/2, 3/4, 5/6, 9/10, 10/11… jest liczba 1, która również nigdy nie zostaje osiągnięta. Ciąg 1, 2, 1, 2, 1, 2… nie ma granicy, ponieważ przeskakuje tam i z powrotem bez końca i nigdy nie dociera do żadnego celu.

Zenon przedstawił swój paradoks w formie opowieści o przechodzeniu przez pokój. W wieku XVI i XVII kilku nieustraszonych matematyków przekształciło jego opowieść w twierdzenie dotyczące liczb. Z tej perspektywy pytanie dotyczyło tego, czy suma ciągu 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… jest nieskończona, czy nie. Odpowiedź Zenona była twierdząca, ponieważ liczby ciągną się bez końca, a każda z nich dorzuca coś do sumy. Kiedy natomiast matematycy zmienili słowa Zenona w liczby i zaczęli je dodawać, odkryli coś dziwnego. Rozpoczęli od 1 + ½ i uzyskali 1½. Nie ma tu nic osobliwego. Co z 1 + ½ + 1/4? Daje to 1¾. Nadal w porządku. 1 + ½ + 1/4 + 1/8? Wynik wynosi 1 7/8. Dodawali coraz więcej i więcej i nigdy nie wpadli w kłopoty. Bieżąca suma nadal rosła, ale stawało się coraz bardziej jasne, że liczba 2 stanowi swojego rodzaju granicę. Można zbliżyć się dowolnie blisko tej granicy – na jedną tysięczną czy jedną miliardową, a nawet jeszcze bliżej – ale z pewnością nigdy nie można będzie jej przełamać, tak jak biegacz przerywa taśmę na linii mety.

Dla praktycznie myślących naukowców XVII wieku oznaczało to koniec paradoksów Zenona. Ogłosili zwycięstwo w bitwie z nieskończonością. Zenon utrzymywał, że jeśli dojście do środka pokoju zajmie sekundę, to przejście na drugą stronę zajmie nieskończoność. Raczej nie, stwierdzili matematycy. Zajmie dwie sekundy.

Dlaczego wydało się to im tak doniosłe? Kiedy bowiem postawili pytanie, na które naprawdę chcieli odpowiedzieć – co oznacza prędkość chwilowa? – wpadli wprost na paradoks Zenona. Chcieli poznać prędkość dorożki w południe, a znaleźli się w pułapce nieskończonego ciągu pytań w rodzaju: jaka była prędkość dorożki między 12:00 i 12:01? Między 12:00 i 12:01:30? Między 12:00 i 12:01:15? Między 12:00…?

Był to siedemnastowieczny odpowiednik fenomenu pułapki menu telefonicznego („jeśli twoja rozmowa dotyczy tej sprawy, wciśnij 1”) i ówcześni naukowcy jęczeli z rozpaczy, ponieważ wydawało się, że pytanie będzie się powielać bez końca, a ucieczka z pułapki jest niemożliwa. Jednak teraz zwycięstwo odniesione nad Zenonem dawało im nadzieję. Tak, pytanie o dorożkę rzeczywiście powiela się bez końca. Przypuśćmy jednak, że przyglądamy się prędkości dorożki w coraz krótszych odcinkach czasu i odkrywamy, iż ciąg tych prędkości zmierza do pewnej granicy.

Wówczas nasze problemy zostałyby przezwyciężone, granica bowiem byłaby liczbą – określoną, całkiem zwyczajną liczbą. To właśnie oznaczała „prędkość chwilowa”. Łatwizna. Jednak najwięksi matematycy starożytności i ich spadkobiercy przez ponad piętnaście stuleci tego nie dostrzegli.
 
Nie był to jeszcze rachunek całkowy i różniczkowy, ale wykonano wielki krok w jego kierunku. W zasadzie rachunek całkowy i różniczkowy stanowi mikroskop matematyczny, narzędzie, które pozwala przyszpilić ruch i dogłębnie go przebadać. Niektóre momenty są ważniejsze niż inne – wysokość strzały w chwili, w której osiąga swoje szczytowe położenie; prędkość kuli armatniej w chwili, w której uderza w mury miasta; prędkość komety, gdy okrąża Słońce – a za pomocą rachunku całkowego i różniczkowego można je umieścić pod mikroskopem i zbadać w dużym zbliżeniu.

 

 

Tak przynajmniej zakładali nowi matematycy. Kiedy jednak sięgali po ów mikroskop, odkrywali, że bez względu na to, jak kręcili jego pokrętłami, po prostu nie mogli uzyskać ostrego obrazu. Jak wkrótce dostrzegli, wszystko zależało od pojęcia granic, a granice nie były takie oczywiste, jak się wydawały. Podobnie jak w przypadku wszystkich innych abstrakcji problem polegał na próbie mocowania się ze zjawą. Co dokładnie i ilościowo oznacza, że ciąg liczb zbliża się bardzo blisko granicy? „Planeta Mars jest blisko Ziemi, gdy znajduje się w odległości 80 milionów kilometrów – zauważył jeden ze współczesnych matematyków. – Z drugiej strony kula jest blisko człowieka, gdy przelatuje kilka centymetrów obok niego”. Jak blisko jest blisko?

Nawet Izaak Newton i Gottfried Leibniz, najbardziej śmiali myśliciele swojej epoki i przywódcy ataku na nieskończoność, popadli w kłopot i sprzeczności. Przede wszystkim wydawało się, że nieskończoność występuje w rozbrajającej wielości form. W zwykłym użyciu słowo „nieskończoność” wywołuje myśli o nieskończonym ogromie. Pomyślmy jednak – we wszystkich tych opowieściach o prędkości w danym momencie zasadniczą kwestią wydawało się zrozumienie znaczenia „nieskończenie małej” długości, a także „nieskończenie krótkich” odcinków czasu.

Co gorsza, maleńkie odległości i maleńkie odcinki czasu mieszały się ze sobą. Prędkość oznacza odległość podzieloną przez czas. Nie było to problemem, gdy chodzi o duże, dobrze znane jednostki jak kilometry i godziny. Jak jednak obraz może nie ulec zmąceniu, gdy dochodzi do podziału coraz mniejszych odległości przez coraz mniejsze odcinki czasu?

Nikt nie potrafił wymyślić, jak poklasyfikować te znikomo małe odległości i odcinki czasu. Leibniz mówił o „wielkościach nieskończenie małych”, które z definicji są „najmniejszymi możliwymi liczbami”, jednak ta definicja rodziła równie wiele pytań jak te, na które udzielała odpowiedzi. Jak liczba mogłaby być mniejsza niż każdy ułamek? Być może wielkości nieskończenie małe były realne, ale zbyt małe, żeby je dostrzec, jak odkryte niedawno mikroskopijne stworzonka Leeuwenhoeka? Niezależnie od tego, jak były małe, wielkości nieskończenie małe były większe niż 0. Poza tymi wyjątkami, kiedy nie były.

Leibniz próbował to wyjaśnić, ale tylko pogorszył sprawę. „Przez… coś nieskończenie małego rozumiemy coś… nieskończenie małego, tak że każde z nich zachowuje się jak swojego rodzaju klasa, a nie jedynie jak ostatnia rzecz z klasy. Jeśli ktoś chce rozumieć to [coś nieskończenie małego] jako ostateczną rzecz… to niechaj tak czyni”. Jak przyznało dwóch uczniów Leibniza, była to „raczej zagadka niż wyjaśnienie2. Newton natomiast mówił o „ostatecznym współczynniku znikomych ilości”, co było może dla niego jasne, ale zbijało z tropu niemal wszystkich innych. „W matematyce nie można pomijać nawet najmniejszych błędów” – głosił na jednym oddechu, a na drugim wskazywał, że maleńkie okruszyny liczb były tak bliskie zera, że bezpiecznie można je zignorować.
 
Co zadziwiające, sprawy na ogół posuwały się naprzód, mniej więcej tak, jak gdy wcześniejsze pokolenie odkryło, że warto pomanipulować nowomodnymi i wciąż tajemniczymi liczbami ujemnymi. W przypadku rachunku całkowego i różniczkowego pozorna abrakadabra przyniosła w efekcie przyziemne, praktyczne rezultaty dotyczące takich kwestii jak to, jak daleko poleci kula armatnia i jak wiele szkód wyrządzi, gdy wyląduje. Sama nazwa calculus [rachunek całkowy i różniczkowy] służyła jako poświadczenie praktycznej wartości tej nowej sztuki – calculus oznacza po łacinie „kamyczek”, co jest odwołaniem do stosików kamyków używanych kiedyś jako pomoc obliczeniowa w dodawaniu i mnożeniu.

Sceptycy twierdzili, że wszystkie poprawne wyniki zawdzięczamy szczęśliwym przypadkom, w których zwielokrotnione błędy zniosły się nawzajem. („Nauką bowiem nie można nazwać tego – oskarżał później jeden z krytyków – gdy postępuje się na ślepo i dociera do prawdy, nie wiedząc jak i co ona oznacza”). Zanim jeszcze niedbałe nowe techniki pozwoliły odpowiedzieć na pytania, które zawsze leżały poza naszym zasięgiem, nikt nie marnował zbyt wiele czasu na martwienie się ścisłością. Leibniz, niezmiernie optymistyczny zarówno osobiście, jak i w swoich poglądach filozoficznych, argumentował wprost, że tego darowanego konia powinno się osiodłać i ujeżdżać, a nie patrzeć mu w zęby. Wszystko posuwało się naprzód.

*

Książka ukazała się nakładem wydawnictwa Prószyński i S-ka w przekł. Sebastiana Szymańskiego.

Więcej na ten temat
Reklama

Czytaj także

Świat

Gdzie na świecie aborcja jest legalna, a gdzie kobiety muszą ją wykonywać w podziemiu?

Co roku na świecie dokonuje się ponad 40 mln aborcji – głównie w tych krajach, gdzie poziom wiedzy na temat antykoncepcji jest niski.

Redakcja
22.10.2020
Reklama

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną