Fragment książki: „Wielki zegar Wszechświata. Wiek geniuszy i narodziny nowoczesnej nauki”
W niewielu epokach marzenia o świecie idealnego porządku wydawałyby się mniej prawdopodobne niż pod koniec XVII wieku.
materiały prasowe

Rozdział 37. „Wszyscy ludzie stworzeni są równymi”
 
Okiełznanie nieskończoności stanowiło kolejny z tych przełomów, dzięki którym niegdyś zbijające z tropu „zero” albo „minus pięć” zaczyna się postrzegać po prostu z perspektywy czasu. Kluczem do sukcesu było przekazanie, żeby niestrudzenie stać twardo na ziemi i nigdy nie wyprawiać się na takie mroczne terytoria jak „natura nieskończoności”.

Abstrakcją, która miała ocalić świat, było pojęcie „granicy”. Jego matematyczny sens jest zbliżony do sensu codziennego. W jednej z debat wyborczych ze Stephenem Douglasem Abraham Lincoln zapytał swoich słuchaczy, dlaczego Deklaracja niepodległości stwierdza, że „wszyscy ludzie stworzeni są równymi”. Nie dlatego, że ojcowie założyciele wierzyli, iż wszyscy ludzie osiągnęli już równość, stwierdził Lincoln. Była to „oczywista nieprawda”. Ojcowie założyciele wskazali, oświadczył Lincoln, że równość dla wszystkich jest celem, „do którego powinno się nieustannie dążyć, na rzecz którego powinno się nieustannie pracować, a nawet jeśli nigdy się go w pełni nie osiągnie, nieustannie powinno się do niego przybliżać”.

W tym samym sensie granica matematyczna jest celem, punktem, do którego ciąg liczb coraz bardziej się zbliża. Ciąg ten nie osiąga granicy, ale coraz bardziej się do niej zbliża. Granicą ciągu 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001… jest liczba 0, nawet jeśli ten ciąg nigdy do niej nie dociera. Podobnie granicą ciągu 1/2, 3/4, 5/6, 9/10, 10/11… jest liczba 1, która również nigdy nie zostaje osiągnięta. Ciąg 1, 2, 1, 2, 1, 2… nie ma granicy, ponieważ przeskakuje tam i z powrotem bez końca i nigdy nie dociera do żadnego celu.

Zenon przedstawił swój paradoks w formie opowieści o przechodzeniu przez pokój. W wieku XVI i XVII kilku nieustraszonych matematyków przekształciło jego opowieść w twierdzenie dotyczące liczb. Z tej perspektywy pytanie dotyczyło tego, czy suma ciągu 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… jest nieskończona, czy nie. Odpowiedź Zenona była twierdząca, ponieważ liczby ciągną się bez końca, a każda z nich dorzuca coś do sumy. Kiedy natomiast matematycy zmienili słowa Zenona w liczby i zaczęli je dodawać, odkryli coś dziwnego. Rozpoczęli od 1 + ½ i uzyskali 1½. Nie ma tu nic osobliwego. Co z 1 + ½ + 1/4? Daje to 1¾. Nadal w porządku. 1 + ½ + 1/4 + 1/8? Wynik wynosi 1 7/8. Dodawali coraz więcej i więcej i nigdy nie wpadli w kłopoty. Bieżąca suma nadal rosła, ale stawało się coraz bardziej jasne, że liczba 2 stanowi swojego rodzaju granicę. Można zbliżyć się dowolnie blisko tej granicy – na jedną tysięczną czy jedną miliardową, a nawet jeszcze bliżej – ale z pewnością nigdy nie można będzie jej przełamać, tak jak biegacz przerywa taśmę na linii mety.

Dla praktycznie myślących naukowców XVII wieku oznaczało to koniec paradoksów Zenona. Ogłosili zwycięstwo w bitwie z nieskończonością. Zenon utrzymywał, że jeśli dojście do środka pokoju zajmie sekundę, to przejście na drugą stronę zajmie nieskończoność. Raczej nie, stwierdzili matematycy. Zajmie dwie sekundy.

Dlaczego wydało się to im tak doniosłe? Kiedy bowiem postawili pytanie, na które naprawdę chcieli odpowiedzieć – co oznacza prędkość chwilowa? – wpadli wprost na paradoks Zenona. Chcieli poznać prędkość dorożki w południe, a znaleźli się w pułapce nieskończonego ciągu pytań w rodzaju: jaka była prędkość dorożki między 12:00 i 12:01? Między 12:00 i 12:01:30? Między 12:00 i 12:01:15? Między 12:00…?

Był to siedemnastowieczny odpowiednik fenomenu pułapki menu telefonicznego („jeśli twoja rozmowa dotyczy tej sprawy, wciśnij 1”) i ówcześni naukowcy jęczeli z rozpaczy, ponieważ wydawało się, że pytanie będzie się powielać bez końca, a ucieczka z pułapki jest niemożliwa. Jednak teraz zwycięstwo odniesione nad Zenonem dawało im nadzieję. Tak, pytanie o dorożkę rzeczywiście powiela się bez końca. Przypuśćmy jednak, że przyglądamy się prędkości dorożki w coraz krótszych odcinkach czasu i odkrywamy, iż ciąg tych prędkości zmierza do pewnej granicy.

Wówczas nasze problemy zostałyby przezwyciężone, granica bowiem byłaby liczbą – określoną, całkiem zwyczajną liczbą. To właśnie oznaczała „prędkość chwilowa”. Łatwizna. Jednak najwięksi matematycy starożytności i ich spadkobiercy przez ponad piętnaście stuleci tego nie dostrzegli.
 
Nie był to jeszcze rachunek całkowy i różniczkowy, ale wykonano wielki krok w jego kierunku. W zasadzie rachunek całkowy i różniczkowy stanowi mikroskop matematyczny, narzędzie, które pozwala przyszpilić ruch i dogłębnie go przebadać. Niektóre momenty są ważniejsze niż inne – wysokość strzały w chwili, w której osiąga swoje szczytowe położenie; prędkość kuli armatniej w chwili, w której uderza w mury miasta; prędkość komety, gdy okrąża Słońce – a za pomocą rachunku całkowego i różniczkowego można je umieścić pod mikroskopem i zbadać w dużym zbliżeniu.

 

Czytaj także

Poleć stronę

Zamknij
Facebook Twitter Google+ Wykop Poleć Skomentuj

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną