Nauka

Kategorycznie zielony

Matematyka i ekologia

Takie zjawisko jak El Ninio - niezwykle mocno wpływające na światowy klimat - da się wytłumaczyć zaawansowaną teorią matematyczną. Potrzeba jednak na to czasu. Takie zjawisko jak El Ninio - niezwykle mocno wpływające na światowy klimat - da się wytłumaczyć zaawansowaną teorią matematyczną. Potrzeba jednak na to czasu. NASA
Ziemia jest w tarapatach. Fizyk John Baez chce do ratowania jej klimatu użyć tajemniczej teorii matematycznej rodem z przedwojennego Lwowa.
prof. John Baez zajmował sie bardzo zaawansowanymi teoriami fizycznymi - np. kwantowa teorią grawitacji - uznał jednak, że pora zgłębić problemy bliższe naszemu codziennemu życiu.Dagomir Kaszlikowski/Polityka prof. John Baez zajmował sie bardzo zaawansowanymi teoriami fizycznymi - np. kwantowa teorią grawitacji - uznał jednak, że pora zgłębić problemy bliższe naszemu codziennemu życiu.

John C. Baez jest frapującym przypadkiem naukowca. W pierwszym wcieleniu zajął się kwantową grawitacją, chyba najgorętszym problemem nauk ścisłych. W drugim – pewną wysoce wyrafinowaną, fundamentalną teorią matematyczną. Oba wątki badał z powodzeniem, ale oba porzucił. W trzecim, aktualnym wcieleniu Baez, ten raczej nieśmiały w codziennych kontaktach profesor fizyki matematycznej z University of California (obecnie pracuje w singapurskim Centre for Quantum Technologies), chce ratować Ziemię przed zapaścią klimatyczną.

Urodzony w 1961 r. w San Francisco Baez to abstrakcjonista nawrócony na rzeczywistość: – Patrzę na matematyków i fizyków i myślę sobie: zmagamy się z kolosalnymi problemami środowiska naturalnego, podczas gdy ci nieprzeciętnie bystrzy ludzie usiłują zrozumieć, co dzieje się we wnętrzu czarnej dziury w 7-wymiarowym Wszechświecie. Kiedyś mnie to bawiło, ale dziś czuję się z tym okropnie.

W tej chwili biolodzy, chemicy, biochemicy, meteorolodzy, fizycy i inne społeczności naukowe badające związane z klimatem procesy, które zachodzą w ziemskiej geosferze, biosferze czy atmosferze, są trochę jak budowniczowie wieży Babel tuż po tym, gdy Bóg pomieszał im języki. Używają różnych modeli matematycznych, mówiąc o podobnych, a czasem wręcz tych samych procesach. Czynią tak z wygody, z niewiedzy, przez przypadek. Bywa, że kiedy chcą zjednoczyć wysiłki, kiepsko się dogadują. Brakuje wspólnego, precyzyjnego, jednoznacznego języka. John Baez żywi nadzieję, że taki język istnieje, i to od pół wieku – to nieco tajemnicza, na wpół zapomniana teoria kategorii.

Prehistoryczna bestia

Teoria kategorii ma jeszcze niejasny status. Jedni uważają ją po prostu za jedną z wielu teorii, usystematyzowany sposób myślenia o ogólnych zależnościach między rozmaitymi obiektami matematycznymi. Dla nich nie ma w niej nic szczególnie zagadkowego. Inni jednak przypisują jej rolę pierwszoplanową. Nazywają teorię kategorii metanauką o analogiach między naukami – alternatywną bazą całej matematyki, która dziś opiera się głównie na teorii zbiorów, zwanej też teorią mnogości.

Dziesiątki lat ciężkiej pracy poświęcono na sprowadzanie każdej idei do teorii zbiorów – mówi Baez. – O każdej wielkości matematycznej możesz powiedzieć: to zbiór. Czym jest liczba pi? Zbiorem. Czym jest pierwiastek kwadratowy z liczby -1? Zbiorem. To brzmi dość kuriozalnie, bo nie wygląda wcale na zbiór. Trzeba użyć pewnego triku, żeby go zakodować jako zbiór. To trochę jak z komputerami: na podstawowym poziomie wszystko to zera i jedynki.

Teoria kategorii jest alternatywą dla teorii zbiorów. Alternatywą, jak twierdzi Baez, bardziej wyrafinowaną. I to nawet mimo tego, że jej zasadnicza idea jest zawstydzająco wręcz prosta: zamiast tylko o rzeczach, powinniśmy myśleć o rzeczach i ich zmianach. Podstawowymi pojęciami są obiekty i tzw. morfizmy, czyli procesy, które przeprowadzają jeden obiekt matematyczny w drugi. Coś zamieniają w coś innego. Obiekty mogą być proste (jak pojedyncza liczba lub ich zbiór), ale mogą to być także wyrafinowane struktury matematyczne o nie zawsze oczywistej strukturze wewnętrznej. Wyjście na wysoki poziom ogólności ułatwia skupienie się nie na pojedynczych obiektach, lecz na ogólnych związkach między nimi. Mówiąc w największym skrócie – studiując morfizmy, możemy wiele się dowiedzieć o strukturze przekształcanych przez nie obiektów.

Jak wiele przełomowych koncepcji matematycznych i filozoficznych, które ukształtowały nauki ścisłe XX w., tak i kategorie zostały poczęte przy kawiarnianych stolikach przedwojennego Lwowa i Warszawy. Ich duchowym ojcem jest Stanisław Ulam (1909–84), błyskotliwy polski matematyk, członek lwowskiej szkoły matematycznej – grupy utalentowanych naukowców, której przewodzili Stefan Banach i Hugon Steinhaus. Teoria kategorii krążyła jako idea gdzieś nad stolikiem Kawiarni Szkockiej, gdzie panowie przesiadywali, ale w karby matematycznego formalizmu ujęta została dopiero po wojnie, i to poza granicami kraju, przez nieco młodszego, warszawskiego kolegę Ulama – Samuela Eilenberga (1913–98).

Eilenberg, podobnie zresztą jak Ulam, ewakuował się z Polski tuż przed wybuchem II wojny światowej. Wraz z Amerykaninem Saundersem Mac Lanem (1909–2005) skonstruowali tuż po wojnie teorię – koło ratunkowe. Sądzili, że dzięki niej wybrną z kłopotów, w które matematyka wówczas wpadła.

Teoria nie do końca spełniła te nadzieje (choć o pewnych problemach matematycznych nie sposób dziś nawet pomyśleć, nie używając jej języka), ale trafiła w ręce Louisa Crane’a, fizyka matematycznego z USA, który dołożył do niej dodatkowe piętra abstrakcji. Rozwinął ją w teorię kategorii wyższego rzędu, n-kategorie, gdzie procesy mogą zachodzić nie tylko między obiektami, ale i samymi procesami. Wkrótce okazało się, że n-kategorie wydają się w zadziwiający sposób kompatybilne z największymi problemami współczesnej fizyki, na przykład kwantową grawitacją.

Wspólny język

Baez sądzi, że do pełnego zrozumienia tego, jak mechanika kwantowa i ogólna teoria względności (teorie mikro- i makroświata) do siebie pasują, jak tworzą jedną, spójną ideę, potrzebujemy właśnie teorii kategorii. – Przestrzeń i czasoprzestrzeń, materia i procesy, którym podlega – w jej języku to po prostu obiekty i morfizmy. Zamiast zawracać sobie głowę drobiazgami opisu materii i czasoprzestrzeni, możemy pomyśleć o nich bardziej abstrakcyjnie, spojrzeć z dystansu. Dysponując odpowiednim językiem matematycznym, możemy to zrobić bez machania rękami.

OK, prawie bez machania. Crane mawia, że badanie związków teorii kategorii z fizyką przypomina odsłanianie skamieniałych szczątków jakiejś nieludzko wielkiej, prehistorycznej bestii. Wciąż nie ma bowiem absolutnej pewności, jak i czy ich elementy do siebie pasują.

Skoro kategoryzowanie czasoprzestrzeni jest takie ciekawe i obiecujące, to dlaczego Baez zajął się klimatem? – Powiem krótko: uważam, że świat zmierza ku katastrofie. Połowa z istniejących gatunków zwierząt i roślin może zostać wkrótce zmieciona z powierzchni Ziemi. Dla ludzi życie stanie się trudne do zniesienia. Kiedy problemy z klimatem staną się poważne, rządy zaczną poszukiwać pomocy wśród naukowców – dobrze będzie mieć zaplecze fachowców. Staram się więc – w miarę swoich umiejętności – przekierować uwagę matematyków i fizyków w tę właśnie stronę. I sprawdzam, jak teorii kategorii można użyć w roli języka systemów biologicznych i ekosystemów. Szukam idei, które mogą podchwycić inni matematycy. Konstruuję narzędzia, które mogą się przydać w przyszłości.

Biolodzy i ekolodzy od dawna używają pojęć wchodzących w zakres teorii kategorii, tylko nie wszyscy jeszcze o tym wiedzą – uważa Baez. W ich książkach pełno jest diagramów. Figury geometryczne symbolizują przeróżne gatunki organizmów, oceany, glebę, między którymi biegną strzałki – przepływy substancji, informacji czy energii. Biolodzy, zwłaszcza specjaliści od biologii systemów, od lat używają też diagramów ukazujących skomplikowane reakcje chemiczne, cykle przemian metabolicznych, przepływy elektronów w łańcuchu oddechowym i wiele, wiele innych zachodzących we wnętrzach komórek.

Procesy te wchodzą w złożone interakcje, budują nieprzejrzyste hierarchie, wymykając się detalicznemu opisowi (bardzo podobnymi schematami ilustruje się zresztą także systemy elektryczne, elektroniczne, energetyczne, układy sztucznej inteligencji, co również daje Baezowi do myślenia).

Kiedy się na nie wszystkie spogląda z perspektywy kategorii, natychmiast narzuca się refleksja, że być może schematy te stanowią zastosowania jednej, obejmującej je wszystkie teorii matematycznej.

Co wielce intrygujące, bardzo przypominają one słynne diagramy Feynmana, czyli obrazki ilustrujące oddziaływania cząstek elementarnych. Pół wieku temu, w jednym z niezliczonych przebłysków geniuszu, amerykański fizyk Richard Feynman obmyślił system rysunkowych przedstawień intymnego życia elektronów, fotonów i innych elektrycznie naładowanych cząstek. Ta metoda wizualizacji skomplikowanych procesów okazała się niebywale skuteczna. Bez niej trudno sobie wyobrazić XX-wieczną fizykę. A tu nagle okazuje się, że matematyka, stojąca na przykład za sieciami komórkowych reakcji biochemicznych, jest identyczna jak ta opisująca subtelne procesy kwantowe.

To niezwykle ekscytujące, bo wydawać by się przecież mogło, że jedne nie mają nic wspólnego z drugimi! Marzy mi się, żeby uczeni skupieni na wielkich, awangardowych, wyznaczających nowe kierunki wyzwaniach zajmowali się nie tylko fizyką cząstek elementarnych czy teorią strun, ale i procesami pogodowymi El Nińo na Pacyfiku! To piekielnie trudne wyzwanie matematyczne.

Dlaczego w obliczu takiego wyzwania nie zdać się po prostu na cyfrowe symulacje? Niestety, nie wydaje się, by poradził sobie z nimi nawet najpotężniejszy komputer. Nie sposób odtworzyć wiernie interakcji między procesami zachodzącymi w wielu skalach i systemach jednocześnie. Nieuniknione błędy w programie będą się kumulować w nieprzewidywalny sposób. Wielu zmiennych jeszcze nie rozumiemy.

Eko matematyka

Wygląda na to, że czasem prostsze modele, niekopiujące całej Ziemi do komputera, mogą być bardziej użyteczne. W badaniach klimatu zwykle jest tak, że różne grupy ludzi zajmują się symulacjami różnych jego aspektów i potem trudno skleić te programy w całość, sprawić, by ze sobą „rozmawiały”. Wydaje mi się, że właśnie kategorie będą w tym bardzo pomocne. Najpewniej nie okażą się cudowną miksturą, ale może staną się początkiem czegoś, co nazywam roboczo zieloną matematyką.

Oczywiście, teoretycznie niewykluczone, że coś takiego jak owa zielona, czyli zdolna do objęcia całych ekosystemów, matematyka jest tylko pięknym złudzeniem. Możliwe, że chcąc w pełni zrozumieć i przewidzieć przebieg procesów klimatycznych, musimy wynaleźć język fundamentalnie odmienny od tego, który dziś znamy. John Baez przypuszcza jednak, że zielona matematyka już istnieje – tyle że w surowej, wstępnej formie. Trzeba dokonać syntezy jej fragmentów rozproszonych po rozmaitych dziedzinach nauki. To idealne zadanie dla matematyków. W syntetyzowaniu są niezrównani. Widzą prawidłowości tam, gdzie inni – cóż – czasem po prostu nic nie widzą.

Pomysł Baeza ma także uzasadnienie historyczne. Matematycy i fizycy nieraz współpracowali bardzo owocnie – szczególnie intensywnie w Los Alamos, podczas budowy bomby jądrowej i termojądrowej. Kluczową rolę w powstaniu tej drugiej odegrał zresztą Stanisław Ulam, czyli pomysłodawca teorii kategorii. Ponownie matematycy i fizycy zeszli się w latach 70. Wiele czysto matematycznych, wydawałoby się całkowicie oderwanych od rzeczywistości, idei znalazło zastosowania w fizyce, która wykonała dzięki nim niebywały skok konceptualny. – Nie wydaje mi się, by można było o czymś podobnym mówić w przypadku biologii czy ekologii – mówi Baez. – Ale próbuję to zmienić.

John Baez zaprasza na bloga Azimuth: johncarlosbaez.wordpress.com

Polityka 30.2011 (2817) z dnia 19.07.2011; Nauka; s. 54
Oryginalny tytuł tekstu: "Kategorycznie zielony"
Więcej na ten temat
Reklama

Czytaj także

Historia

Marian Turski: Przeżyłem dwa marsze śmierci. Po wojnie nic nie pamiętałem

Najpierw miałem trwającą 20 lat amnezję. A potem nie chciałem. Dopiero kiedy w 2001 r. otwarto dla zwiedzających saunę (łaźnię), zgodziłem się coś powiedzieć publicznie.

Jacek Żakowski
27.01.2020
Reklama

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną