Społeczeństwo

Omega, czyli większa bajka

Czy matematyka to współczesny mit?

Być może świat prawdziwej matematyki to tylko mit zamieszkiwany przez jednorożce i pegazy, ale to bardzo ładny i użyteczny świat – mówi Gregory Chaitin, matematyk z IBM Thomas J. Watson Research Center.

Karol Jałochowski: – Matematyka to taka większa bajka, współczesny mit?
Gregory Chaitin: – Jeśli to fikcja, to bardzo piękna. I bardzo użyteczna. Ale czym jest fikcja? Czym jest rzeczywistość? Bertrand Russell uważał, że kiedy w chwili śmierci średniowiecznego, religijnego spojrzenia na świat rodziła się współczesna nauka, pojawiła się postawa zwana realizmem naiwnym, mówiąca, że rzeczy są po prostu tym, czym się wydają. Zamiast wyobrażać sobie Boga i niewidzialne duchy, spojrzeliśmy na przyrodę mówiąc: Cóż, to właśnie rzeczywistość, przyjrzyjmy się jej, bo tylko ona istnieje. Russell przekonywał, że współczesna nauka to właśnie taki realizm naiwny. Ale współczesna nauka wykazuje, że naiwny realizm jest błędny, bo stół i krzesło opisywane są przez prawa fizyki kwantowej, które niewiele mają z nim wspólnego. Jeśli więc realizm naiwny jest prawdziwy, to jest fałszywy.

Innymi słowy – ludzki umysł próbuje zrozumieć niezrozumiały świat tworząc coś, co moja żona Virginia nazwałaby mitami, a ja – dziecięcymi modelami. Są zwykle proste, mniej skomplikowane niż rzeczywistość. W przeciwnym razie nie moglibyśmy ich zrozumieć i badać matematycznie. Te mity lub zabawki – to wielkie osiągnięcie umysłu. To właśnie nauka.

A nie metafizyka?
Można i tak powiedzieć. Próby zrozumienia świata za pomocą czystej myśli nie są w modzie już od czasów starożytnej Grecji. Ale Einstein mówił, że każdy dobry fizyk teoretyczny, który chce poznawać rzeczywistość za pomocą myśli, musi zdać się na metafizyczny impuls (choć oczywiście trzeba też przeprowadzać eksperymenty). I że każdy fizyk to zreformowany metafizyk. Nie wierzysz więc, że poznasz wszystko za pomocą myśli, ale w to, że możesz zrozumieć świat wykorzystując proste, piękne idee. To pewnego rodzaju metafizyczny przesąd – bo właściwie dlaczego miałoby tak być? A może nawet tak wcale nie jest? Świat jest przecież brzydki, skomplikowany i niechlujny.

Matematyka daje bezpieczny azyl?
Tak! Być może świat prawdziwej matematyki zamieszkiwany jest przez jednorożce i pegazy, ale to bardzo ładny świat. Świat, w którym rozum sprawdza się lepiej niż w naszym. Dzięki niemu uczymy się, jak używać rozumu. I zrozumieć otaczający nas świat. Jest więc zatem całkiem użyteczny. Ale podstawowym powodem, dla którego warto zajmować się czystą matematyką, jest jej intelektualne piękno. To ono uwodzi ludzi. W pewnym sensie to rzeczywistość estetyczna. Picasso mawiał, że sztuka to kłamstwo, które pozwala nam zobaczyć prawdę. Ja powiedziałbym, że wszystkie teorie to kłamstwa, które pozwalają nam dostrzec prawdę. Oczywiście jedne lepiej, inne gorzej. Matematyka to gra... To trudne pytania... Odpowiadam na twoje, czy wymyślam własne?

I jedno, i drugie, jak sądzę.
Też mi się tak wydaje. 

Ukąszenie Gödla

Zacznijmy więc od początku. Od Davida Hilberta, który na przełomie wieków próbował z tego mitu uczynić precyzyjny system reguł, z którego można wywieść wszystkie prawdy matematyczne.
Hilbert wyrażał przekonanie, że matematyka może dawać absolutną prawdę. Zakładał, że poprawne jest powszechne od czasów Platona przekonanie, że matematyka może stanowić model wszelkiego rozumowania. I że przy takim założeniu da się ją zastosować i w polityce, i w naukach społecznych, etyce itd. Hilbert próbował przerobić na ideę matematyczną filozoficzne przekonanie, że nauka daje absolutną prawdę. Jeśli tak jest, mówił, to powinien istnieć skończony zbiór powszechnie akceptowanych aksjomatów (faktów oczywistych, których nie wywodzimy z prostszych reguł, np. że 1≠ 0 – red.), dzięki którym – posługując się logiką i zbiorem prostych reguł – można wykazać prawdziwość lub fałszywość każdego dowodu. Powinien istnieć algorytm, który mechanicznie wygenerowałby wszystkie prawdy matematyczne. Powinna nawet istnieć maszyna, która wywodziłaby z aksjomatów wszystkie twierdzenia. Nie można tego zrobić w praktyce, bo za długo by to trwało. Ale matematycy nie dbają o czas. W teorii jest to możliwe. Bardzo ciekawy pomysł.

Wkrótce potem obalony.
Przez Kurta Gödla w 1931 r., a potem przez Alana Turinga w 1936 r. Zaczyna Gödel, zauważając, że nie można znaleźć zbioru aksjomatów dla wszystkich prawd matematycznych. Skończonego zbioru. Istnieją prawdy, których nie da się udowodnić. Chociażby takie jak ta: Tego zdania nie da się udowodnić. Bo jeśli mamy stwierdzenie, które mówi, że nie można go udowodnić, to jest ono prawdziwe tylko wtedy, kiedy nie można go udowodnić. Gdyby można je było udowodnić, dowiedlibyśmy, że jest fałszywe. Trochę to dziwne.

Bardziej fundamentalny wydaje mi się dowód Turinga. Wykazuje on, że są pytania w matematyce, na które nie da się odpowiedzieć za pomocą jakiejś mechanicznej procedury. Nie da się systematycznie, mechanicznie wygenerować wszystkich prawd matematycznych.

Co to oznacza dla matematyki?
Może że jej prawdy są z natury wynikiem aktu twórczego? Któż to może wiedzieć... Pytanie o pochodzenie matematyki jest tak niepokojące, że w zasadzie wszyscy woleli o nim w ogóle nie rozmawiać. Matematycy chcieli przecież mieć kuszące syrenim śpiewem prawdy absolutne. Większość z nich sądziła, że to Hilbert miał rację. Próbowała z całych sił ignorować Gödla i Turinga. I udało się – wydaje mi się, że znaczna część środowiska postępuje tak, jakby chciała o nich zapomnieć.

Moim błędem było, że będąc dzieckiem dałem się opętać ideami Gödla. Czułem, że to wyjątkowe odkrycia, które oznaczają, że matematyka jest czymś zupełnie innym, niż się wszystkim wydawało. Postawiłem na to całe swoje życie. Ale mogłem się mylić...

Nie ma pan pewności?
Nie potrafię skonstruować niezbitego dowodu na to, że odkrycie Gödla jest rewolucyjne i całkowicie zmienia obraz matematyki. Sam nie jestem o tym całkowicie przekonany. Wydaje mi się, że wyniki mojej pracy naukowej zmierzają w tym kierunku i że są jakąś propozycją dla przyszłych pokoleń – jeśli tylko będą chciały o tym rozmyślać. Nie sądzę, żebym sam wpadł jeszcze na jakieś fundamentalnie nowe pomysły. Chociaż nigdy nie wiadomo. Może będę miał szczęście. Prawdopodobnie jednak skupię się na budowaniu jak najlepszej argumentacji przeciwko konwencjonalnej wizji matematyki.

Na przykład przekonując, że dowody matematyczne mogą być mniej lub bardziej prawdziwe?
Podsuwam myśl, że pojęcie dowodu ma charakter ciągły – od dowodów całkowicie przekonujących do wiarygodnych w sposób statystyczny, takich, które tylko coś sugerują. Podobnych do tych stosowanych w fizyce. Ponadto przekonuję, że istotą teorii jest kompresja (początków tej idei można szukać w „Discours de Métaphysique” Leibniza z 1686 r.). Ostatecznie teorii fizycznej lub matematycznej wierzymy wtedy, jak mi się wydaje, gdy redukuje wiele faktów do małego zbioru aksjomatów i praw. Wierzymy w teorie, które kompresują nasze doświadczenie. Im bardziej, tym lepiej. Powiedziałbym, że w pewien sposób zrozumienie oznacza skondensowanie. W fizyce, w naukach empirycznych to nic nowego. Ale system immunologiczny środowiska matematycznego odrzuca te idee.

Czy matematyka, w której jakość dowodu mierzy się jego długością, nie traci na urodzie?
Co to znaczy, że coś jest piękne? Piękno jest subiektywne. Różni ludzie różnie je postrzegają. Szczęśliwie – bo w przeciwnym razie wszyscy chcielibyśmy ożenić się z tą samą kobietą, prawda? Zająłem się taką, a nie inną matematyką, bo wydała mi się piękna. Fascynująca. Stała się źródłem obsesji. Wydaje mi się, że piękno to dobre kryterium oceny teorii. Piękne teorie mogą inspirować do ich badania. Brzydkie teorie – a kogo one obchodzą?

Poza tym – a po co istnieje gatunek ludzki? Myślę, że ostatecznie po to, by tworzyć piękno lub próbować zrozumieć Wszechświat. Teorię nazywamy piękną m.in. dlatego, że ma piękną strukturę lub pomaga coś zrozumieć. Wielu z nas pracuje na rzecz piękna. Ktoś wykonujący meble też. Może wszystko jest pięknem? Może da się uzasadnić tezę, że wszystko jest zmysłowością – pięknymi ideami? Nie wiem. Na pewno teoria musi być prosta. Gdyby mogła być arbitralnie skomplikowana, jej pojęcie stałoby się bezsensowne. Bo wtedy zawsze byłaby jakaś teoria.

Liczbowa wyrocznia orficka

Żegnamy się z prawdą absolutną w matematyce. Ale jakby tego było mało, nie wiadomo, czy istnieje coś, tak wydawałoby się oczywistego, jak liczby rzeczywiste?
Tak. W 1936 r. wspominał o tym Turing, ale nie poszedł na całość. W słynnej pracy poświęconej matematycznej idei komputera zastanawiał się, czy można obliczyć, cyfra po cyfrze, dokładną wartość π (stosunku długości obwodu koła do długości jego średnicy – red.) lub innych liczb, które matematycy znają i kochają. Można by się spodziewać, że każdą liczbę rzeczywistą można obliczyć z dowolną dokładnością. Tymczasem okazało się (do czego przyczynił się Gödel), że jest wprost przeciwnie. Szokujące odkrycie.

Pojęcie liczby rzeczywistej (liczb używanych przez nas na co dzień, liczb całkowitych, ułamków itp. – red.) w pewnym sensie jest jak jednorożec. To piękny matematyczny koncept świetnie sprawdzający się chociażby w rachunku różniczkowym (którego współautorem jest mój idol Gottfried Wilhelm Leibniz), ale pojedyncza liczba rzeczywista to rodzaj bajki.

Są ludzie, jak Stephen Wolfram (kontrowersyjny fizyk, matematyk i biznesmen brytyjski – red.) oraz ja sam, którzy twierdzą wręcz, że być może liczby rzeczywiste nie istnieją, że świat jest dyskretny (czyli nieciągły, podzielony na małe fragmenty – red.). Mówią tak m.in. dlatego, że żaden komputer nie obliczy dokładnie liczby rzeczywistej, która ma po przecinku nieskończoną liczbę cyfr, a to dlatego, że komputery radzą sobie tylko z obiektami skończonymi. Pomysł Wolframa mógłby się spodobać pitagorejczykom, którzy byli przekonani, że liczby całkowite, jak 1, 2, 3, 4 czy 5, są bardziej realne niż inne.

Nawet proste teoretyczne idee, jak liczby rzeczywiste, okazują się więc dość wyrafinowane. Kiedy przyjrzysz się im nazbyt dokładnie, wpadniesz w bezdenną filozoficzną głębinę. Francuski matematyk Émile Borel zauważył, że liczb rzeczywistych nie tylko nie sposób obliczyć, ale nawet nazwać. Że są nieosiągalne.

Jako dowód przeciwko istnieniu liczb rzeczywistych podawał paradoksalny przykład liczby stanowiącej odpowiedź na wszystkie możliwe pytania?
Myślę, że Borel wskazywał na ulotny charakter pojęcia liczby rzeczywistej. Bo jeśli miałaby istnieć, to byłaby jak wyrocznia orficka. N-ta cyfra odpowiadałaby na n-te pytanie z listy wszystkich możliwych pytań. Zdaniem Borela pojęcie liczby rzeczywistej zawierającej nieskończoną ilość informacji jest matematyczną fikcją. Reprezentował postawę konstruktywistyczną. Wierzył w obiekty, które można obliczyć w skończonym czasie. Ale Turing dowiódł, że są w matematyce rzeczy, których nie można obliczyć i których nie można dowieść, co z kolei oznacza, że świat matematyki po prostu jest fantazją. Nie ma w tym nic złego. Matematyka jest taka piękna między innymi dlatego, że jest fantazją. Nie wyjaśnisz stosunków z rodziną lub globalnej ekonomii za pomocą prostych równań czy logicznego rozumowania. Sam widzisz – rozum znajduje zastosowanie w świecie matematyki dlatego, że matematyka to rodzaj fikcji. Z drugiej strony są idee pitagorejczyków mówiące, że rzeczywistość matematyki jest ostatecznym porządkiem kryjącym się za całym tym bałaganem, który dostrzegamy na co dzień.

Wróćmy raz jeszcze do podstaw i Gödla, który mówi, że nie ma prawd absolutnych...
Nie – Gödel wierzył w ich istnienie. Twierdził natomiast, że myli się Hilbert mówiąc, że do prawd absolutnych można dojść w sposób mechaniczny, bo zdaniem Gödla to wymaga kreatywności i inspiracji. Wydaje mi się, że takie właśnie jest jego stanowisko. Rebecca Goldstein w książce „Incompleteness” przytacza anegdotę o tym, jak to podczas jakiegoś oficjalnego obiadu do Gödla przysiadł się młody, dumny ze swych osiągnięć fizyk i próbował zaimponować sławnemu matematykowi. Skończył oczekując pochwały, a Gödel na to: Nie wierzę w nauki empiryczne. Wierzę tylko w prawdy a priori. Tylko one są niezbędne.

Myślę, że w duchu Gödel był platonikiem. Wierzył w prawdę absolutną. Zajmował stanowisko rodem ze średniowiecza lub nawet antyku. Umysł Turinga był nowocześniejszy. Wydaje się, że uważał ludzkie istoty za maszyny i że sztuczna inteligencja jest możliwa.

Akt wyobraźni

A kim pan jest?
Nie wiem. W poniedziałki, środy i piątki myślę jedno. We wtorki i czwartki – drugie. Oba punkty widzenia coś nam mówią. Potraktowałem idealny, platoński świat matematyki na tyle poważnie, by poświęcić mu całe swoje życie. Ale może po prostu byłem głupi. I utknąłem w nim na dobre. Ale jeśli ktoś mówi mi, że nie wierzy w świat matematyki, bo zawiera on nie tylko liczby rzeczywiste, których nie sposób obliczyć, ale i nieskończenie wielkie liczby całkowite, których nie można zapisać na papierze, nie spieram się z nim. To spójna postawa filozoficzna.

Im robię się starszy, tym wyraźniej widzę, że na naprawdę głębokie pytania możliwych jest wiele różnych odpowiedzi. Są jak diament. Każda z powierzchni rzuca nieco światła na prawdę. Więc nie wiem, kim jestem.

Myślę, że jednym z wielkich darów rasy ludzkiej jest zdolność do wyobrażania sobie schematów teoretycznych. Einstein mówił, że to nie fakty zmuszają nas do wysunięcia nowej teorii, to nade wszystko twórczy akt wyobraźni. Einstein miał słabość do metafizyki. Zresztą mawiał o sobie, że nie jest fizykiem, ale filozofem, który przez przypadek skupił się na fizyce. Cóż – to również w pewien sposób mój przypadek.

Wyobraźnia jest esencją matematyki?
Tak – patrzę na matematykę w bardzo romantyczny sposób. Widzę ją jako jedno z najbardziej doniosłych osiągnięć ludzkiego umysłu, próbę wyobrażenia sobie czegoś, co całkowicie wykracza poza nasz świat. Wyobrazić sobie coś na tyle dokładnie, by móc to udowodnić – to wspaniałe dzieło wyobraźni. Georg Cantor, autor wywrotowej, głęboko paradoksalnej teorii zbiorów nieskończonych (m.in. ona właśnie sprowokowała Hilberta do działania), mawiał, że istotą matematyki jest wolność tworzenia. Stworzył więc zadziwiającą teorię mnogości pełną tak nieskończonych nieskończoności, że co krok natrafiał na paradoks. Mówiła na przykład, że pojęcie zbioru wszystkiego jest wewnętrznie sprzeczne, ponieważ zbiór wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru okazuje się większy niż zbiór wyjściowy. Otrzymujesz zbiór większy niż wszystko, a przecież nic nie może być większe niż wszystko.

Cantor specjalnie się tym nie przejmował, bo sądził, że tak naprawdę bada umysł Boga. A Bóg jest transcendentny. Nic więc dziwnego, że skończony ludzki umysł napotyka paradoksy badając nieskończony umysł Boga, prawda? Więc Cantor się nie dziwił. Ale inni matematycy już tak. Rozumowanie wydawało się poprawne, a prowadziło do sprzeczności, które przerażały matematyków. Nawet dziś nie mówi się o tym wiele. Ludzie obawiają się paradoksów. Zajmowali się nimi Gödel, Turing. I ja próbuję. Podobnie jak Gödla interesują mnie tylko najbardziej podstawowe pytania. Te, na które bardzo, ale to bardzo trudno odpowiedzieć. Pytania o prawdę i o to, co istnieje. Byłoby na przykład miło, gdyby istniała moja najsłynniejsza liczba Ω, o której piszę w książce „Meta Math!”.

Próbuje pan udowodnić, że Ω istnieje, podczas gdy jest to liczba rzeczywista. Paradoks?
To liczba, którą można zdefiniować w bardzo prosty, przyziemny sposób, podobnie jak π. Jest dość solidna z matematycznego punktu widzenia. Nie jest to przesadnie wyrafinowany obiekt. To po prostu prawdopodobieństwo zatrzymania się komputera wykonującego losowo wybrany program komputerowy. Ω zawiera się więc w przedziale między 0 a 1. Problem pojawia się w chwili, gdy próbuje się ją zapisać cyfra po cyfrze. Nie da się ich obliczyć żadnym programem. Nigdy nie wiadomo, jakie one będą. Mówiąc inaczej – są to nieredukowalne prawdy matematyczne, czyli takie, których nie dowodzi żadna teoria. Są takie, a nie inne, bez przyczyny, jak wyniki rzutu monetą.

W matematyce, gdzie – jak sądzą niektórzy – wszystko jest albo czarne, albo białe, Ω uprawia mimikrę, udając liczbę czysto przypadkową. To perfekcyjna imitacja. Bóg lub wszechwiedzący matematyk zna każdą z cyfr. Żeby jednak udowodnić, jakie one są, musimy dodawać nowe aksjomaty. Ale dodawanie kolejnych aksjomatów to kiepska metoda na dowodzenie czegokolwiek.

Einstein, który był przeciwnikiem przypadkowości przyrody, sugerowanej przez mechanikę kwantową, twierdził, że Bóg nie gra w kości. Ω to miejsce, gdzie Bóg rzuca monetą. Zaskakujący fakt w świecie idei. Sprawia, że matematyka okazuje się mniej doskonała, quasi-empiryczna, trochę podobna do fizyki. Oznacza, że matematyczna prawda absolutna jest bardzo ulotna. Dla zwolenników czystej matematyki, którzy poszukują prawd absolutnych, brzmi to jak herezja.

To kres wyobrażenia o idealnym świecie matematyki?
Wciąż można go postrzegać jako doskonały uznając, że to tylko my jesteśmy niedoskonali. Nadal można wierzyć – i do pewnego stopnia ja sam również wierzę – że istnieje platoński świat matematycznych idei, gdzie dla wszechwiedzącego umysłu lub Boga prawda jest czarna lub biała. I tylko nasza wiedza jest ograniczona, bo jesteśmy ograniczonymi istotami.

Ω została odkryta czy wynaleziona?
Bardzo trafne pytanie. Jeśli wierzysz, że matematyka to fundamentalna rzeczywistość Wszechświata, to znaczy, że ją odkrywamy. Jeśli natomiast matematyka to tylko gra, którą wymyślamy, to ją wynajdujemy. Jest w Ω coś, co wygląda na bardziej wynalezione niż odkryte. Liczba ta zależy bowiem od rodzaju komputera, względem którego jest zdefiniowana. A konkretny komputer to sztuczny twór. Ale najbardziej podstawowe własności Ω nie zależą od wyboru języka, co każe sądzić, że została ona odkryta. Jako matematyk chciałbym sądzić, że Ω istnieje, mimo że nie możemy jej poznać w szczegółach. Bo dostrzegamy jej ideę.

Szczególnie polubili Ω niektórzy teologowie. Czują, że jest jak Bóg. Wykracza poza świat i ludzkie możliwości. A jedną z cech zachodniej koncepcji Boga jest transcendentalność. Można by powiedzieć, że Ω nie daje się poznać nam, ponieważ jesteśmy ludźmi, ale jest dobrze znana Bogu. Znajduje się w świecie idei, w umyśle Boga. Ale ja nic nie wiem o teologii.

Oczywiście byłoby miło, gdyby Ω istniała, bo to by oznaczało, że ją odkryłem. W przeciwnym razie zmarnowałbym życie na paradoks, liczbę, która nie może zostać poznana ani obliczona. I to w najgorszy z możliwych sposobów. Jest maksymalnie niepoznawalna. Maksymalnie nieobliczalna. Jak jakaś paradoks z kabały.

DNA matematyki

Im bardziej chcemy ją poznać, tym bardziej nam umyka?
Niels Bohr zwykł opowiadać następującą historię: Uczeń jesziwy z bardzo biednej wioski w Europie Wschodniej zostaje wysłany do miasta na trzy gościnne wykłady słynnego uczonego rabina. Kiedy wraca, w szkole pytają go, jak było. Pierwszy wykład był znakomity, mówi student, przejrzysty, precyzyjny. Zrozumiałem wszystko. A drugi wykład? Znacznie lepszy niż pierwszy, mówi student. Inspirujący. Zrozumiałem może z połowę, ale wydaje mi się, że i rabin nie wszystko rozumiał. No, a ostatni wykład? Och! Ostatni! To było najbardziej niezwykłe wydarzenie w moim życiu! Nic nie zrozumiałem, i wydaje mi się, że rabin też niewiele.

Taki właśnie paradoks mam na myśli. Ω wpisuje się w długą intelektualną tradycję idei wewnętrznie sprzecznych – prób zrozumienia tego, czego nie możemy zrozumieć. Ktoś powie, że to daremny trud. Jaki lunatyk poświęciłby życie czemuś zaprzeczającemu samemu sobie. Ale idea transcendencji zawsze fascynowała myślicieli. Taka właśnie jest Ω. Nie wiem, czym jest. Ale myśląc o niej miałem dużo frajdy. Za dużo w tym filozofii dla waszych czytelników...

Wydaje mi się, że mogą być zainteresowani.
Jeśli ty rozumiesz, o czym mówię, to jest nadzieja.

Próbuję.
OK.

Liczba Ω to stempel pańskiej teorii, zgodnie z którą Wszechświat, a w nim żywe organizmy, jest jak komputer wykonujący swój program.
Och, takich jak my, którzy sądzą, że świat to obliczenie, jest naprawdę wielu. Wszechświat jako gigantyczny komputer – to metafora. Zakładamy, że Wszechświat to olbrzymi komputer. Co oblicza? Swój następny stan. Przyszłość. Otrzymuje przyszłość z teraźniejszości. Dawniej powiedzielibyśmy, że Bóg jest matematykiem. Dziś, że jest programistą.

Jeden z moich przyjaciół mawia, że zwykłe komputery załapują się na przejażdżkę tym wielkim, uniwersalnym komputerem, jakim jest Wszechświat. A że idea komputera odniosła ogromny sukces w epoce technologii, niektórzy z nas próbują więc użyć jej jako przenośni. Jako mitu, sposobu rozumienia rzeczywistości. Nie tylko w matematyce i fizyce, które są dziedzinami siostrzanymi, ale także w biologii. Można próbować rozpatrywać żywe organizmy korzystając z tego punktu widzenia. Powiedzielibyśmy wtedy, że DNA jest programem służącym do obliczenia organizmu. W tym kontekście życie byłoby ewoluującym oprogramowaniem, a ciąża byłaby równoznaczna procesowi obliczeniowemu.

Ta metafora ma jakieś praktyczne zastosowanie?
Cóż... Nie wiem. Próbuję jedynie zbudować ogólną argumentację przemawiającą za tym punktem widzenia. Ale Ω przetrwałaby, nawet jeśli jest on błędny. Być może Wszechświat nie jest komputerem i nie należy myśleć o DNA jak o oprogramowaniu. Gdyby jednak metafora komputera okazała się prawdziwa, Ω nabrałaby wielkiego znaczenia. Można bowiem myśleć o niej jak o DNA świata matematyki. Świata o nieskończonym stopniu złożoności (chodzi o złożoność w tzw. teorii informacji, mierzoną długością algorytmu służącego do jego opisania – red.). Bo każda z cyfr Ω (lub każdy jej bit w rozwinięciu dwójkowym) to jeden nieredukowalny fakt matematyczny, nie do udowodnienia przez żadną teorię. Program służący do jej obliczenia miałby nieskończoną długość. W tym sensie Ω jest nawet bardziej skomplikowana niż biologia, ponieważ biologia ma skończoną złożoność.

Matematyka byłaby więc nawet bardziej złożona niż Wszechświat?
Tak! Gdyby udało się znaleźć pełną teorię opisującą fizyczny Wszechświat, wtedy owszem – Ω byłaby bardziej złożona. Z drugiej jednak strony mamy tradycyjną interpretację mechaniki kwantowej, która mówi, że za każdym razem, kiedy dokonujemy pomiaru – na przykład spinu elektronu – dostajemy od fizycznego świata jeden bit przypadkowości. Może procesy kwantowe są przypadkowe, a Wszechświat nieskończenie złożony. Ale takie ujęcie mechaniki kwantowej nie jest teraz w modzie. Uważa się raczej, że ukryte procesy kwantowe tworzą tylko iluzję przypadkowości, a Wszechświat jest przyczynowo-skutkowy. To prawdopodobnie sięgający głębiej sposób rozumienia mechaniki kwantowej.

Pańska teoria (prawie) wszystkiego ma wściekłych krytyków...
Większość moich pomysłów jest zdecydowanie kontrowersyjna. Społeczność matematyków ma obowiązek kwestionować nowe punkty widzenia – oczywiście tak długo, jak jest to naturalne i zdrowie. Ale nikt nie spiera się z technicznymi aspektami moich teorii. Sprzeczają się o ich znaczenie i filozoficzne konsekwencje – bądź ich brak. Zważywszy, że zrywam z tradycyjnym spojrzeniem na matematykę, moje pomysły zyskały o wiele więcej akceptacji, niż się spodziewałem. Czas pokaże. Sprawdźmy za sto lat. A czasem trzeba zaczekać nawet dłużej...

Więcej na ten temat
Reklama

Czytaj także

Kultura

Podróże z Leonardem da Vinci

500 lat temu zmarł Leonardo da Vinci. Takiej rocznicy świat przegapić nie może, wyścig świętujących zaczął się wcześnie – i wybuchowo.

Piotr Sarzyński
16.04.2019
Reklama

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną