Czy matematyka to współczesny mit?

Omega, czyli większa bajka
Być może świat prawdziwej matematyki to tylko mit zamieszkiwany przez jednorożce i pegazy, ale to bardzo ładny i użyteczny świat – mówi Gregory Chaitin, matematyk z IBM Thomas J. Watson Research Center.

Karol Jałochowski: – Matematyka to taka większa bajka, współczesny mit?
Gregory Chaitin: – Jeśli to fikcja, to bardzo piękna. I bardzo użyteczna. Ale czym jest fikcja? Czym jest rzeczywistość? Bertrand Russell uważał, że kiedy w chwili śmierci średniowiecznego, religijnego spojrzenia na świat rodziła się współczesna nauka, pojawiła się postawa zwana realizmem naiwnym, mówiąca, że rzeczy są po prostu tym, czym się wydają. Zamiast wyobrażać sobie Boga i niewidzialne duchy, spojrzeliśmy na przyrodę mówiąc: Cóż, to właśnie rzeczywistość, przyjrzyjmy się jej, bo tylko ona istnieje. Russell przekonywał, że współczesna nauka to właśnie taki realizm naiwny. Ale współczesna nauka wykazuje, że naiwny realizm jest błędny, bo stół i krzesło opisywane są przez prawa fizyki kwantowej, które niewiele mają z nim wspólnego. Jeśli więc realizm naiwny jest prawdziwy, to jest fałszywy.

Innymi słowy – ludzki umysł próbuje zrozumieć niezrozumiały świat tworząc coś, co moja żona Virginia nazwałaby mitami, a ja – dziecięcymi modelami. Są zwykle proste, mniej skomplikowane niż rzeczywistość. W przeciwnym razie nie moglibyśmy ich zrozumieć i badać matematycznie. Te mity lub zabawki – to wielkie osiągnięcie umysłu. To właśnie nauka.

A nie metafizyka?
Można i tak powiedzieć. Próby zrozumienia świata za pomocą czystej myśli nie są w modzie już od czasów starożytnej Grecji. Ale Einstein mówił, że każdy dobry fizyk teoretyczny, który chce poznawać rzeczywistość za pomocą myśli, musi zdać się na metafizyczny impuls (choć oczywiście trzeba też przeprowadzać eksperymenty). I że każdy fizyk to zreformowany metafizyk. Nie wierzysz więc, że poznasz wszystko za pomocą myśli, ale w to, że możesz zrozumieć świat wykorzystując proste, piękne idee. To pewnego rodzaju metafizyczny przesąd – bo właściwie dlaczego miałoby tak być? A może nawet tak wcale nie jest? Świat jest przecież brzydki, skomplikowany i niechlujny.

Matematyka daje bezpieczny azyl?
Tak! Być może świat prawdziwej matematyki zamieszkiwany jest przez jednorożce i pegazy, ale to bardzo ładny świat. Świat, w którym rozum sprawdza się lepiej niż w naszym. Dzięki niemu uczymy się, jak używać rozumu. I zrozumieć otaczający nas świat. Jest więc zatem całkiem użyteczny. Ale podstawowym powodem, dla którego warto zajmować się czystą matematyką, jest jej intelektualne piękno. To ono uwodzi ludzi. W pewnym sensie to rzeczywistość estetyczna. Picasso mawiał, że sztuka to kłamstwo, które pozwala nam zobaczyć prawdę. Ja powiedziałbym, że wszystkie teorie to kłamstwa, które pozwalają nam dostrzec prawdę. Oczywiście jedne lepiej, inne gorzej. Matematyka to gra... To trudne pytania... Odpowiadam na twoje, czy wymyślam własne?

I jedno, i drugie, jak sądzę.
Też mi się tak wydaje. 

Ukąszenie Gödla

Zacznijmy więc od początku. Od Davida Hilberta, który na przełomie wieków próbował z tego mitu uczynić precyzyjny system reguł, z którego można wywieść wszystkie prawdy matematyczne.
Hilbert wyrażał przekonanie, że matematyka może dawać absolutną prawdę. Zakładał, że poprawne jest powszechne od czasów Platona przekonanie, że matematyka może stanowić model wszelkiego rozumowania. I że przy takim założeniu da się ją zastosować i w polityce, i w naukach społecznych, etyce itd. Hilbert próbował przerobić na ideę matematyczną filozoficzne przekonanie, że nauka daje absolutną prawdę. Jeśli tak jest, mówił, to powinien istnieć skończony zbiór powszechnie akceptowanych aksjomatów (faktów oczywistych, których nie wywodzimy z prostszych reguł, np. że 1≠ 0 – red.), dzięki którym – posługując się logiką i zbiorem prostych reguł – można wykazać prawdziwość lub fałszywość każdego dowodu. Powinien istnieć algorytm, który mechanicznie wygenerowałby wszystkie prawdy matematyczne. Powinna nawet istnieć maszyna, która wywodziłaby z aksjomatów wszystkie twierdzenia. Nie można tego zrobić w praktyce, bo za długo by to trwało. Ale matematycy nie dbają o czas. W teorii jest to możliwe. Bardzo ciekawy pomysł.

Wkrótce potem obalony.
Przez Kurta Gödla w 1931 r., a potem przez Alana Turinga w 1936 r. Zaczyna Gödel, zauważając, że nie można znaleźć zbioru aksjomatów dla wszystkich prawd matematycznych. Skończonego zbioru. Istnieją prawdy, których nie da się udowodnić. Chociażby takie jak ta: Tego zdania nie da się udowodnić. Bo jeśli mamy stwierdzenie, które mówi, że nie można go udowodnić, to jest ono prawdziwe tylko wtedy, kiedy nie można go udowodnić. Gdyby można je było udowodnić, dowiedlibyśmy, że jest fałszywe. Trochę to dziwne.

Bardziej fundamentalny wydaje mi się dowód Turinga. Wykazuje on, że są pytania w matematyce, na które nie da się odpowiedzieć za pomocą jakiejś mechanicznej procedury. Nie da się systematycznie, mechanicznie wygenerować wszystkich prawd matematycznych.

Co to oznacza dla matematyki?
Może że jej prawdy są z natury wynikiem aktu twórczego? Któż to może wiedzieć... Pytanie o pochodzenie matematyki jest tak niepokojące, że w zasadzie wszyscy woleli o nim w ogóle nie rozmawiać. Matematycy chcieli przecież mieć kuszące syrenim śpiewem prawdy absolutne. Większość z nich sądziła, że to Hilbert miał rację. Próbowała z całych sił ignorować Gödla i Turinga. I udało się – wydaje mi się, że znaczna część środowiska postępuje tak, jakby chciała o nich zapomnieć.

Moim błędem było, że będąc dzieckiem dałem się opętać ideami Gödla. Czułem, że to wyjątkowe odkrycia, które oznaczają, że matematyka jest czymś zupełnie innym, niż się wszystkim wydawało. Postawiłem na to całe swoje życie. Ale mogłem się mylić...

Nie ma pan pewności?
Nie potrafię skonstruować niezbitego dowodu na to, że odkrycie Gödla jest rewolucyjne i całkowicie zmienia obraz matematyki. Sam nie jestem o tym całkowicie przekonany. Wydaje mi się, że wyniki mojej pracy naukowej zmierzają w tym kierunku i że są jakąś propozycją dla przyszłych pokoleń – jeśli tylko będą chciały o tym rozmyślać. Nie sądzę, żebym sam wpadł jeszcze na jakieś fundamentalnie nowe pomysły. Chociaż nigdy nie wiadomo. Może będę miał szczęście. Prawdopodobnie jednak skupię się na budowaniu jak najlepszej argumentacji przeciwko konwencjonalnej wizji matematyki.

Na przykład przekonując, że dowody matematyczne mogą być mniej lub bardziej prawdziwe?
Podsuwam myśl, że pojęcie dowodu ma charakter ciągły – od dowodów całkowicie przekonujących do wiarygodnych w sposób statystyczny, takich, które tylko coś sugerują. Podobnych do tych stosowanych w fizyce. Ponadto przekonuję, że istotą teorii jest kompresja (początków tej idei można szukać w „Discours de Métaphysique” Leibniza z 1686 r.). Ostatecznie teorii fizycznej lub matematycznej wierzymy wtedy, jak mi się wydaje, gdy redukuje wiele faktów do małego zbioru aksjomatów i praw. Wierzymy w teorie, które kompresują nasze doświadczenie. Im bardziej, tym lepiej. Powiedziałbym, że w pewien sposób zrozumienie oznacza skondensowanie. W fizyce, w naukach empirycznych to nic nowego. Ale system immunologiczny środowiska matematycznego odrzuca te idee.

Czy matematyka, w której jakość dowodu mierzy się jego długością, nie traci na urodzie?
Co to znaczy, że coś jest piękne? Piękno jest subiektywne. Różni ludzie różnie je postrzegają. Szczęśliwie – bo w przeciwnym razie wszyscy chcielibyśmy ożenić się z tą samą kobietą, prawda? Zająłem się taką, a nie inną matematyką, bo wydała mi się piękna. Fascynująca. Stała się źródłem obsesji. Wydaje mi się, że piękno to dobre kryterium oceny teorii. Piękne teorie mogą inspirować do ich badania. Brzydkie teorie – a kogo one obchodzą?

Poza tym – a po co istnieje gatunek ludzki? Myślę, że ostatecznie po to, by tworzyć piękno lub próbować zrozumieć Wszechświat. Teorię nazywamy piękną m.in. dlatego, że ma piękną strukturę lub pomaga coś zrozumieć. Wielu z nas pracuje na rzecz piękna. Ktoś wykonujący meble też. Może wszystko jest pięknem? Może da się uzasadnić tezę, że wszystko jest zmysłowością – pięknymi ideami? Nie wiem. Na pewno teoria musi być prosta. Gdyby mogła być arbitralnie skomplikowana, jej pojęcie stałoby się bezsensowne. Bo wtedy zawsze byłaby jakaś teoria.

Czytaj także

Ważne tematy społeczne

W nowej POLITYCE

Zobacz pełny spis treści »

Poleć stronę

Zamknij
Facebook Twitter Google+ Wykop Poleć Skomentuj